Matriks

Kegiatan Belajar 1: Pengertian Matriks

Definisi Matriks

Matriks adalah jajaran bilangan real berbentuk persegi panjang. Bilangan real yang terdapat dalam jajaran itu disebut unsur matriks.

• Matriks berukuran m × n adalah matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom, tiap baris memuat n bilangan, dan tiap kolom memuat m bilangan.
• Notasi umum: A = [a_ij], di mana a_ij adalah unsur matriks A yang terdapat pada baris ke-i dan kolom ke-j.
• Angka pertama (kiri) pada indeks menyatakan nomor baris (dari atas ke bawah), angka kedua (kanan) menyatakan nomor kolom (dari kiri ke kanan).

Kesamaan matriks: Dua matriks A dan B sama (A = B) jika dan hanya jika ukurannya sama dan setiap unsur pada posisi yang sama bernilai sama.

Jenis-Jenis Matriks Menurut Ukuran

• Matriks baris — matriks berukuran 1 × n (hanya satu baris)
• Matriks kolom — matriks berukuran m × 1 (hanya satu kolom)
• Matriks bujursangkar (square matrix) — matriks berukuran n × n (jumlah baris = jumlah kolom)

Unsur dalam Matriks Bujursangkar

Untuk matriks bujursangkar A = [a_ij] berorde n:

• Unsur diagonal: unsur a_ii, dengan i = 1, 2, ..., n (baris = kolom)
• Unsur atas diagonal: unsur a_ij dengan j > i
• Unsur bawah diagonal: unsur a_ij dengan j < i

Jenis Matriks Bujursangkar Menurut Posisi Unsur Nol

• Matriks segitiga bawah (lower triangular) — semua unsur atas diagonal = 0
• Matriks segitiga atas (upper triangular) — semua unsur bawah diagonal = 0
• Matriks diagonal — semua unsur luar diagonal = 0 (sekaligus segitiga atas dan segitiga bawah)
• Matriks satuan (identity matrix) — matriks diagonal yang semua unsur diagonalnya = 1, dinotasikan I_n

Penjumlahan Matriks

Jika A = [a_ij] dan B = [a_ij] keduanya berukuran m × n, maka:

A + B = [a_ij + b_ij]

Syarat: hanya matriks berukuran sama yang dapat dijumlahkan. Unsur pada posisi tertentu pada hasiljumlah adalah jumlah unsur matriks pertama dan matriks kedua pada posisi yang sama.

Sifat penting:

• Komutatif: A + B = B + A
• Pengurangan didefinisikan sebagai: A − B = A + (−B)

Perkalian Matriks Baris × Kolom

Perkalian matriks baris A = [a₁ a₂ ... aₖ] dengan matriks kolom B = [b₁ b₂ ... bₖ]ᵀ adalah:

AB = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₖbₖ

Perkalian Dua Matriks

Hasilkali matriks A berukuran m × k dengan matriks B berukuran k × n adalah matriks AB berukuran m × n, di mana unsur pada baris ke-i kolom ke-j adalah:

(AB)_ij = Σ (dari s=1 ke k) a_is × b_sj

Syarat perkalian: banyaknya kolom A harus sama dengan banyaknya baris B.

Sifat penting:

• Tidak komutatif: pada umumnya AB ≠ BA
• Bahkan bisa saja AB bisa dihitung tetapi BA tidak bisa dihitung, atau sebaliknya

Perkalian Skalar

Jika A = [a_ij] matriks dan c bilangan real, maka:

cA = [c · a_ij] — setiap unsur matriks dikalikan dengan skalar c

---

Kegiatan Belajar 2: Bilangan Real

Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan K yang tak hampa adalah suatu fungsi atau pemetaan (*): K × K → K. Ditulis: a * b. Sifat utama yang harus dipenuhi: sifat tertutup — hasil operasi harus merupakan anggota K.

Catatan: Operasi biner pada himpunan K belum tentu merupakan operasi biner pula pada himpunan bagian A ⊂ K. Sifat tertutup tidak selalu diwariskan ke himpunan bagian. Namun, sifat komutatif, asosiatif, dan distributif selalu diwariskan.

Grup

Himpunan G dengan operasi biner (): G × G → G disebut grup terhadap operasi () jika memenuhi:

1. Sifat tertutup: a * b ∈ G untuk semua a, b ∈ G
2. Sifat asosiatif: (a * b) * c = a * (b * c)
3. Adanya unsur satuan (e): a * e = e * a = a untuk setiap a ∈ G
4. Adanya unsur invers (a⁻¹): a⁻¹ * a = a * a⁻¹ = e untuk setiap a ∈ G

Grup Abel (Grup Komutatif)

Grup G yang juga memenuhi sifat komutatif (a * b = b * a untuk semua a, b ∈ G) disebut grup komutatif atau grup Abel.

Contoh Grup

• Bilangan real ℝ terhadap penjumlahan (+): merupakan grup Abel (komutatif)
• Bilangan bulat ℤ terhadap penjumlahan: merupakan grup Abel
• Bilangan rasional ℚ terhadap penjumlahan: merupakan grup Abel
• ℝ \ {0} terhadap perkalian (·): merupakan grup Abel
• Bilangan tak rasional terhadap penjumlahan maupun perkalian: bukan grup (tidak tertutup)
• Bilangan asli ℕ terhadap penjumlahan: bukan grup (tidak punya unsur satuan 0 dan invers)

Sifat-Sifat Bilangan Real

Sifat Penjumlahan:

• Tertutup, komutatif, asosiatif
• Unsur satuan: 0 (a + 0 = a)
• Unsur invers: −a (a + (−a) = 0)

Sifat Perkalian:

• Tertutup, komutatif, asosiatif
• Unsur satuan: 1 (a · 1 = a)
• Unsur invers: a⁻¹ = 1/a (untuk a ≠ 0)

Sifat Distributif:

• a · (b + c) = a·b + a·c
• (a + b) · c = a·c + b·c

Lapangan (Field)

Himpunan F dengan dua operasi biner (⊕) dan (⊙) disebut lapangan (field) jika:

1. F dengan operasi (⊕) merupakan grup komutatif (unsur satuan: 0)
2. F \ {0} dengan operasi (⊙) merupakan grup komutatif
3. Berlaku sifat distributif: a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a ⊙ c)

Contoh lapangan:

• Himpunan bilangan real ℝ dengan (+) dan (·) biasa
• Himpunan bilangan rasional ℚ dengan (+) dan (·) biasa

---

Kegiatan Belajar 3: Sifat Operasi Matriks

Sifat Asosiatif Perkalian Matriks

Dalil: Jika A matriks m × n, B matriks n × k, C matriks k × q, maka:

(AB)C = A(BC)

Sifat asosiatif berlaku umum untuk perkalian matriks. Dengan berlakunya sifat ini, baik A(BC) maupun (AB)C dapat dinyatakan sebagai ABC saja.

Sifat Distributif Perkalian Matriks

Dalil:

• Jika A matriks m × n, B dan C matriks n × k, maka: A(B + C) = AB + AC
• Jika P dan Q matriks p × s, R matriks s × t, maka: (P + Q)R = PR + QR

Perkalian Skalar dan Matriks Diagonal

Dalil: Jika A matriks m × n, c bilangan real, C matriks diagonal m × m dengan unsur diagonal c, dan D matriks diagonal n × n dengan unsur diagonal c, maka:

CA = AD = cA

Khususnya untuk c = 1: I_m · A = A · I_n = A (I = matriks satuan)

Sifat Lain Perkalian Skalar

Untuk A matriks m × n, B matriks n × k, c dan d bilangan real:

• c(dA) = (cd)A = d(cA)
• A(cB) = (cA)B = c(AB)
• cA + dA = (c + d)A
• cA + cB = c(A + B)
• 1 · A = A

Invers Matriks Bujursangkar

Definisi: Invers matriks bujursangkar A (orde m) adalah matriks bujursangkar A⁻¹ yang memenuhi:

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_m

Sifat-sifat invers:

• Invers bersifat tunggal (unik)
• (A⁻¹)⁻¹ = A
• Invers dari A⁻¹ adalah A sendiri

Singular dan Tak Singular

• Matriks singular — matriks bujursangkar yang tidak punya invers
• Matriks tak singular — matriks bujursangkar yang punya invers

Dalil: Matriks A tak singular jika dan hanya jika det A ≠ 0.

Invers Matriks 2 × 2

Untuk matriks A = [[a, b], [c, d]], jika det A = ad − bc ≠ 0, maka:

A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]]

Sifat Invers Perkalian

Dalil: Jika A dan B matriks tak singular berukuran sama, maka:

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

Perhatikan urutannya terbalik! Generalisasi: (Aⁿ)⁻¹ = (A⁻¹)ⁿ

Hukum Kanselasi Tidak Berlaku untuk Matriks

Pada bilangan real, ab = 0 dan a ≠ 0 mengakibatkan b = 0. Sifat ini tidak berlaku untuk matriks: terdapat matriks A ≠ O dan B ≠ O sehingga AB = O. Akibatnya, hukum kanselasi P(Q − R) = O dengan P ≠ O tidak menjamin Q = R.

Himpunan Matriks Tak Singular sebagai Grup

Himpunan semua matriks tak singular berukuran sama membentuk grup terhadap perkalian (asosiatif, punya unsur satuan I, setiap unsur punya invers). Namun grup ini tidak komutatif karena perkalian matriks tidak komutatif.

Transpos Matriks

Definisi: Transpos matriks A = [a_ij] berukuran m × n adalah matriks Aᵀ berukuran n × m yang unsur baris ke-i kolom ke-jnya adalah a_ji. Artinya: baris Aᵀ = kolom A dan sebaliknya.

Sifat-sifat transpos:

• (Aᵀ)ᵀ = A
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (urutan terbalik!)
• (P + Q)ᵀ = Pᵀ + Qᵀ
• (cA)ᵀ = cAᵀ

Matriks Simetri

Definisi: Matriks yang sama dengan transposnya disebut matriks simetri (A = Aᵀ).

• Matriks simetri pasti bujursangkar
• Matriks diagonal adalah juga matriks simetri

Dalil penting: Jika A matriks m × n, maka:

• AAᵀ selalu merupakan matriks simetri berukuran m × m
• AᵀA selalu merupakan matriks simetri berukuran n × n

Bukti: (AAᵀ)ᵀ = (Aᵀ)ᵀAᵀ = AAᵀ, sehingga AAᵀ = (AAᵀ)ᵀ → simetri.

---

Rumus dan Fakta Penting