Operasi Baris dan Matriks Eselon

Kegiatan Belajar 1: Operasi Baris Elementer dan Matriks Eselon

A. Tiga Jenis Operasi Baris Elementer

1. Pertukaran Baris ($R_i \leftrightarrow R_j$): Menukar posisi baris ke-$i$ dengan baris ke-$j$ pada suatu matriks. Operasi ini tidak mengubah himpunan jawab sistem persamaan linear.

2. Perkalian Baris dengan Konstanta ($kR_i$, $k \neq 0$): Mengalikan seluruh unsur baris ke-$i$ dengan konstanta tak nol $k$. Pembatasan $k \neq 0$ diperlukan agar tidak menghilangkan suatu persamaan dari sistem.

3. Penambahan Baris ($R_i + kR_j$): Menambahkan baris ke-$i$ dengan $k$ kali baris ke-$j$, tanpa mengubah baris ke-$j$. Baris ke-$i$ diganti dengan hasil penjumlahan tersebut.

4. Tujuan Penggunaan: Ketiga operasi ini digunakan untuk mengubah sistem persamaan linear menjadi sistem baru yang ekuivalen (jawabnya sama) tetapi jauh lebih sederhana untuk diselesaikan.

---

B. Matriks Eselon dan Matriks Eselon Tereduksi

1. Matriks Eselon (Row Echelon Form): Suatu matriks disebut matriks eselon jika memenuhi syarat:

• Semua baris nol (jika ada) berada di bawah semua baris tak nol.
• Unsur satu utama (pivot) setiap baris tak nol terletak di sebelah kanan pivot baris di atasnya.
• Semua unsur di bawah pivot bernilai nol.

2. Matriks Eselon Tereduksi (Reduced Row Echelon Form): Matriks eselon yang memenuhi syarat tambahan:

• Setiap pivot bernilai 1.
• Pivot merupakan satu-satunya unsur tak nol pada kolomnya — semua unsur di atas dan di bawah pivot bernol.

3. Contoh: Matriks eselon $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ menjadi eselon tereduksi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ setelah menolakkan unsur di atas pivot kedua.

---

C. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan

1. Eliminasi Gauss: Proses mengubah matriks menjadi matriks eselon menggunakan operasi baris elementer. Setelah mendapat matriks eselon, jawab diperoleh dengan substitusi mundur (back substitution).

2. Eliminasi Gauss-Jordan: Proses melanjutkan hingga diperoleh matriks eselon tereduksi. Jawab dapat dibaca langsung tanpa substitusi mundur.

3. Pada Matriks Lengkap: Untuk menyelesaikan sistem $AX = B$, lakukan operasi baris elementer pada matriks lengkap $[A \mid B]$. Operasi ini tidak mengubah himpunan jawab sistem persamaan linear, juga tidak mengubah sifat keujudan dan ketunggalannya.

4. Pola Papan Catur (Tanda): Saat menghitung determinan atau kofaktor, tanda unsur mengikuti pola $+, -, +, -, \ldots$ seperti papan catur, yaitu tanda unsur $a_{ij}$ adalah $(-1)^{i+j}$.

---

Kegiatan Belajar 2: Matriks Elementer dan Keekivalenan Baris

---

A. Pengertian Matriks Elementer

1. Definisi: Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks satuan $I_n$ dengan mengerjakan satu operasi baris elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer sesuai tiga jenis operasi baris elementer.

2. Contoh Matriks Elementer $3 \times 3$:

• Pertukaran $R_1 \leftrightarrow R_2$: $E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Perkalian $R_2$ dengan $k$: $E_k = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Penambahan $R_3 + sR_1$: $E_s = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ s & 0 & 1 \end{pmatrix}$

---

B. Hubungan Operasi Baris dengan Perkalian Matriks

1. Teorema Fundamental: Melakukan operasi baris elementer pada matriks $A$ ekuivalen dengan mengalikan $A$ dari kiri dengan matriks elementer $E$ yang sesuai. Misalnya pertukaran $R_1 \leftrightarrow R_2$ pada $A$ menghasilkan $E_1 A$.

2. Rangkaian Operasi: Serangkaian operasi baris elementer yang dikerjakan pada $A$ menghasilkan perkalian berurutan: $E_k \cdots E_2 E_1 A$. Proses eliminasi Gauss-Jordan pada $A$ hingga diperoleh matriks eselon tereduksi $R$ dapat ditulis $R = E_k \cdots E_1 A$.

3. Invers Matriks Elementer: Setiap matriks elementer mempunyai invers yang juga matriks elementer — yaitu matriks dari operasi baris yang membatalkan operasi asal:

• $(R_i \leftrightarrow R_j)^{-1}$: pertukaran yang sama → $E^{-1} = E$.
• $(kR_i)^{-1} = \frac{1}{k}R_i$ → $E^{-1}$ diperoleh dari $I$ dengan mengalikan baris ke-$i$ dengan $\frac{1}{k}$.
• $(R_i + kR_j)^{-1} = R_i - kR_j$ → $E^{-1}$ diperoleh dari $I$ dengan mengurangi baris ke-$i$ sebesar $k$ kali baris ke-$j$.

4. Akibat: Setiap matriks elementer tak singular karena memiliki invers.

---

C. Keekivalenan Baris

1. Definisi: Matriks $A$ ekuivalen baris dengan matriks $B$ (ditulis $A \sim B$) jika $B$ diperoleh dari $A$ melalui serangkaian operasi baris elementer, yaitu $B = PA$ dengan $P = E_k \cdots E_1$ merupakan hasil kali matriks-matriks elementer (sehingga $P$ tak singular).

2. Teorema Keunikan Eselon Tereduksi: Setiap matriks mempunyai tepat satu matriks eselon tereduksi. Dua matriks ekuivalen baris jika dan hanya jika matriks eselon tereduksinya identik (sama persis).

3. Hubungan dengan Kesingularan: Karena $B = PA$ dengan $P$ tak singular, maka kesingularan terpreservasi:

• $A$ singular $\iff$ $B$ singular.
• $A$ tak singular $\iff$ matriks eselon tereduksi $A$ adalah matriks satuan $I$.
• $A$ singular $\iff$ matriks eselon tereduksi $A$ memuat minimal satu baris nol.

---

D. Faktorisasi Matriks Elementer dan Pencarian Invers

1. Faktorisasi: Jika $A$ tak singular, maka eliminasi Gauss-Jordan pada $A$ menghasilkan $I$, yaitu $E_k \cdots E_1 A = I$. Diperoleh $A = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}$, artinya $A$ merupakan hasil kali matriks-matriks elementer.

2. Mencari Invers dengan Eliminasi Gauss-Jordan: Lakukan eliminasi Gauss-Jordan pada matriks yang diperluas $[A \mid I]$:

• Jika bagian kiri berubah menjadi $I$, maka bagian kanan adalah $A^{-1}$.
• Jika bagian kiri memuat baris nol di tengah proses, maka $A$ singular dan tidak punya invers.

3. Penerapan: Metode ini berlaku untuk matriks bujursangkar berukuran berapapun, dan merupakan alternatif dari rumus $A^{-1} = \frac{\text{adj } A}{\det A}$ (Modul 4). Untuk matriks berukuran besar, metode eliminasi Gauss-Jordan lebih efisien dibanding metode adjoint.