Sistem Persamaan Linear

Kegiatan Belajar 1: Jawab Sistem Persamaan Linear

A. Tiga Kemungkinan Jawab Sistem Linear

1. Prinsip Eliminasi: Dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan pada matriks lengkap $[A \mid B]$ sistem $AX = B$, diperoleh matriks eselon tereduksi yang menyatakan sistem paling sederhana yang ekuivalen. Operasi baris elementer tidak mengubah keujudan maupun ketunggalan jawab.

2. Klasifikasi Jawab: Untuk sistem persamaan linear, tepat satu dari tiga hal berlaku:

• Tak punya jawab (inkonsisten): terdapat baris yang menyatakan $0 = c$ dengan $c \neq 0$.
• Tepat satu jawab (tunggal): semua variabel terikat, jawab dapat ditentukan unik.
• Tak berhingga banyaknya jawab: sebagian variabel dibuat bebas (parameter bebas $t, s, \ldots$).

3. Penulisan Himpunan Jawab: Untuk jawab tak tunggal, himpunan jawab ditulis dalam bentuk vektor kolom: $X = X_p + tX_h$ dengan $X_p$ vektor partikular dan $X_h$ vektor homogen.

---

B. Mendeteksi Ketiadaan Jawab

1. Tanda Ketiadaan Jawab: Jika di tengah proses eliminasi muncul baris dengan semua unsur nol kecuali unsur terakhir (kolom konstanta), maka baris itu menyatakan persamaan yang mustahil dipenuhi, dan sistem tak punya jawab.

2. Contoh: Baris $[0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; | \;\; -2]$ pada matriks eselon menyatakan $0 = -2$, suatu kontradiksi. Sistem segera dinyatakan inkonsisten.

3. Praktis: Tidak harus menyelesaikan seluruh proses eliminasi — cukup menemukan baris kontradiksi pada tahap manapun untuk menyimpulkan ketiadaan jawab.

---

C. Sistem Persamaan Linear Homogen

1. Selalu Konsisten: Sistem homogen $AX = 0$ selalu punya jawab, minimal jawab trivial $X = 0$, karena substitusi $X = 0$ selalu memenuhi setiap persamaan homogen.

2. Pembuktian Formal: Operasi baris elementer tidak mengubah kolom nol pada matriks lengkap, sehingga matriks eselon tereduksinya juga tak memuat baris kontradiksi.

3. Jawab Tak Trivial: Selain jawab trivial, sistem homogen mungkin memiliki jawab tak trivial (yaitu $X \neq 0$). Keberadaan jawab tak trivial bergantung pada ketaktunggalan jawab.

---

Kegiatan Belajar 2: Keujudan dan Ketunggalan

---

A. Keujudan Jawab

1. Dalil Keujudan — Tak Ada Jawab: Jika rangkaian operasi baris elementer pada matriks lengkap menghasilkan baris yang unsur tak nol terkiri berada pada kolom terakhir (kolom konstanta), maka sistem tidak punya jawab.

2. Dalil Keujudan — Ada Jawab: Jika matriks eselon untuk matriks lengkap tidak memuat baris dengan unsur satu utama pada kolom terakhir, maka sistem punya jawab. Ini merupakan syarat perlu dan cukup.

3. Pemeriksaan Praktis: Untuk menyimpulkan ketiadaan jawab, cukup menemukan baris yang menyatakan ketidakmungkinan pada tahap manapun — tidak perlu menyelesaikan hingga matriks eselon penuh.

---

B. Ketunggalan Jawab

1. Dalil Jawab Tunggal: Jika matriks eselon untuk matriks lengkap tidak memuat baris dengan unsur satu utama pada kolom terakhir, dan jumlah baris tak nol sama dengan jumlah kolom matriks koefisien, maka jawab tunggal. Semua variabel terikat pada pivot.

2. Dalil Jawab Tak Tunggal: Jika syarat keujudan terpenuhi tetapi jumlah baris tak nol kurang dari jumlah kolom matriks koefisien, maka ada lebih dari satu jawab. Variabel yang kolomnya tidak memuat unsur satu utama (pivot) dibuat bebas.

3. Shortcut Penting: Jika jumlah baris matriks koefisien (atau matriks lengkap) kurang dari jumlah kolom matriks koefisien, maka tanpa menghitung matriks eselon pun sudah dapat disimpulkan jawab pasti tak tunggal — karena baris tak nol $\leq$ total baris < jumlah kolom.

---

C. Ketunggalan untuk Sistem Homogen

1. Masalah Yang Relevan: Untuk sistem homogen $AX = 0$, masalah keujudan tidak relevan (selalu ada jawab). Yang diperiksa adalah ketunggalan.

2. Jawab Tunggal = Hanya Trivial: Jika jumlah baris tak nol pada matriks eselon matriks koefisien sama dengan jumlah kolom, maka jawab tunggal yaitu $X = 0$.

3. Jawab Tak Tunggal = Ada Jawab Tak Trivial: Jika jumlah baris tak nol kurang dari jumlah kolom, maka ada jawab yang bukan nol, disebut jawab tak trivial. Cukup periksa matriks koefisien saja (tidak perlu kolom nol).

---

D. Mencari Invers Matriks dengan Eliminasi Gauss-Jordan

1. Prosedur: Lakukan eliminasi Gauss-Jordan pada $[A \mid I]$. Jika $A$ tak singular, bagian kiri menjadi $I$ dan bagian kanan menjadi $A^{-1}$.

2. Deteksi Singularitas: Jika di tengah proses bagian kiri memuat baris nol, maka $A$ singular (tidak punya invers) — proses dapat dihentikan.

---

Kegiatan Belajar 3: Analisis Sistem Persamaan Linear dengan Parameter

---

A. Strategi Analisis

1. Langkah Dasar: Lakukan eliminasi Gauss pada matriks lengkap yang memuat parameter. Identifikasi elemen-elemen yang bergantung pada nilai parameter.

2. Klasifikasi Berdasarkan Parameter: Tentukan syarat parameter untuk tiga kemungkinan:

• Tak punya jawab: Pembagian dengan ekspresi parameter tidak memungkinkan (penyebut $= 0$) dan baris menyatakan ketidakmungkinan ($0 = c$, $c \neq 0$).
• Jawab tunggal: Jumlah baris tak nol = jumlah kolom matriks koefisien (semua variabel terikat).
• Jawab tak tunggal: Baris nol muncul akibat nilai parameter tertentu, sehingga baris tak nol < jumlah kolom.

3. Sistem Homogen dengan Parameter: Kasus "tak punya jawab" tidak mungkin terjadi. Hanya perlu menentukan nilai parameter yang menghasilkan jawab tunggal (trivial saja) versus jawab tak tunggal (ada jawab tak trivial).

---

B. Contoh Penerapan Analisis

1. Metode Kerja: Lakukan eliminasi baris demi baris, perhatikan kapan suatu baris bergantung pada parameter. Identifikasi kasus-kasus kritis di mana penyebut menjadi nol.

2. Contoh Klasik: Untuk sistem dengan parameter $p$, proses eliminasi mungkin menghasilkan baris dengan unsur $(p - a)$ di suatu posisi pivot:

• Jika $p = a$: baris menjadi baris nol atau baris kontradiksi → cek apakah tak ada jawab atau jawab tak tunggal.
• Jika $p \neq a$: baris dapat dibagi, proses berlanjut normal.

3. Kesimpulan: Pastikan memeriksa semua kasus kritis secara terpisah, dan tentukan jawab/himpunan jawab untuk setiap kasus yang menghasilkan konsistensi.

4. Hubungan Antara Parameter: Kadang analisis menghasilkan hubungan antar parameter (misalnya $q + r = 3p$) sebagai syarat keujudan jawab, bukan nilai parameter tunggal.