Determinan

Kegiatan Belajar 1: Pengertian Determinan

A. Definisi Determinan

1. Determinan Matriks $1 \times 1$: Untuk $A = [a_{11}]$, didefinisikan $\det A = a_{11}$.

2. Minor dan Kofaktor: Minor $M_{ij}$ dari unsur $a_{ij}$ pada matriks $A$ adalah determinan matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ pada $A$. Kofaktor $C_{ij}$ didefinisikan: $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

3. Definisi Induktif: Untuk matriks $A$ berukuran $n \times n$, determinan didefinisikan secara rekursif: $\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \quad \text{(pembabaran menurut baris ke-}i\text{)}$

4. Pola Papan Catur: Tanda kofaktor mengikuti pola tanda $+, -, +, -, \ldots$ seperti papan catur, ditentukan oleh $(-1)^{i+j}$.

---

B. Ekspansi Menurut Baris dan Kolom

1. Pembabaran Menurut Baris ke-$k$: $\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{kj} C_{kj}, \quad k = 1, 2, \ldots, n$ Pembabaran dapat dilakukan menurut baris manapun.

2. Pembabaran Menurut Kolom ke-$k$: $\det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ik} C_{ik}, \quad k = 1, 2, \ldots, n$ Pembabaran juga dapat dilakukan menurut kolom manapun.

3. Strategi Efisien: Pilih baris atau kolom yang memuat paling banyak unsur nol untuk meminimalkan jumlah perhitungan. Unsur nol menyebabkan suku pada jumlahan bernilai nol, sehingga tidak perlu dihitung.

---

C. Determinan Matriks Segitiga dan Matriks dengan Baris/Kolom Nol

1. Matriks Segitiga: Jika $A$ matriks segitiga (atas, bawah, atau diagonal), maka determinannya adalah perkalian unsur-unsur diagonal: $\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{j=1}^{n} a_{jj}$

2. Baris Nol atau Kolom Nol: Jika matriks $A$ mempunyai baris nol atau kolom nol, maka $\det A = 0$. Hal ini karena pembabaran menurut baris/kolom nol menghasilkan jumlahan yang semuanya nol.

3. Keuntungan Matriks Segitiga: Untuk mempercepat perhitungan, ubah matriks menjadi segitiga menggunakan operasi baris elementer, lalu kalikan unsur diagonal.

---

Kegiatan Belajar 2: Sifat-sifat Determinan

---

A. Determinan Transpose

1. Teorema: Untuk matriks $A$ berukuran $n \times n$: $\det(A^T) = \det A$ Determinan tidak berubah oleh transposisi.

2. Akibat: Semua sifat yang berlaku untuk baris juga berlaku untuk kolom, dan sebaliknya.

---

B. Pengaruh Operasi Baris Elementer

1. Pertukaran Dua Baris (Kolom): Jika $B$ diperoleh dari $A$ dengan mempertukarkan baris ke-$k$ dan baris ke-$m$, maka: $\det B = -\det A$

2. Perkalian Baris (Kolom) dengan Konstanta: Jika baris ke-$k$ matriks $A$ dikalikan dengan bilangan $p$ menghasilkan $B$, maka: $\det B = p \cdot \det A$ Akibat khusus: untuk matriks $n \times n$, $\det(pA) = p^n \det A$.

3. Penambahan Konstanta Kali Baris Lain: Menambahkan baris ke-$i$ dengan $k$ kali baris ke-$j$ ($i \neq j$) tidak mengubah determinan: $\det B = \det A$

4. Akibat Penting: Jika matriks $A$ mempunyai dua baris (atau kolom) yang identik, maka $\det A = 0$. Sebab pertukaran dua baris yang sama tidak mengubah $A$, tetapi mengubah determinan menjadi negatifnya, sehingga $\det A = -\det A \Rightarrow \det A = 0$.

---

C. Determinan Perkalian Matriks

1. Teorema: Untuk matriks bujursangkar $A$ dan $B$ berukuran sama: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$

2. Catatan: $\det(BA) = \det B \cdot \det A = \det A \cdot \det B = \det(AB)$, walaupun $BA \neq AB$ pada umumnya.

3. Akibat untuk Pangkat: $\det(A^k) = (\det A)^k$ untuk $k$ bilangan asli.

---

D. Hubungan Determinan dengan Kesingularan

1. Teorema Utama:

• $\det A = 0 \iff A$ singular (tidak punya invers).
• $\det A \neq 0 \iff A$ tak singular (punya invers).

2. Akibat untuk Invers: Jika $A$ tak singular, maka: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = (\det A)^{-1}$

3. Bukti Konsep: Jika $A$ singular, matriks eselon tereduksi $A$ memuat baris nol, sehingga $\det A = 0$. Jika $A$ tak singular, $A = E_1^{-1} \cdots E_k^{-1}$ dengan $E_i$ matriks elementer, dan setiap $\det E_i \neq 0$, sehingga $\det A \neq 0$.

---

Kegiatan Belajar 3: Penerapan Determinan

---

A. Invers Matriks Menggunakan Adjoint

1. Definisi Adjoint: Adjoint matriks $A$, ditulis $\text{adj } A$, adalah transpose dari matriks kofaktor $A$. Unsur pada baris ke-$i$ kolom ke-$j$ dari $\text{adj } A$ adalah kofaktor $C_{ji}$ dari matriks $A$.

2. Rumus Invers: Jika $A$ tak singular, maka: $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \text{adj } A$

3. Hubungan Fundamental: Terbukti bahwa $A \cdot \text{adj } A = (\det A) \cdot I$, yang menghasilkan rumus invers di atas.

4. Contoh: Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, hitung kofaktor setiap unsur, susun matriks kofaktor, transposikan untuk mendapat $\text{adj } A$, lalu bagi dengan $\det A$.

---

B. Aturan Cramer

1. Rumus: Untuk sistem $AX = B$ dengan $A$ matriks tak singular berukuran $n \times n$, komponen ke-$k$ jawab: $x_k = \frac{\det A_k}{\det A}, \quad k = 1, 2, \ldots, n$ di mana $A_k$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-$k$ pada $A$ dengan kolom $B$.

2. Batasan: Aturan Cramer hanya berlaku untuk sistem dengan $\det A \neq 0$ (jawab tunggal). Jika $\det A = 0$, aturan Cramer tidak dapat digunakan — jawab bisa tak ada atau lebih dari satu.

3. Kesimpulan untuk Sistem dengan Matriks Koefisien Bujursangkar:

• $\det A \neq 0$ → sistem punya tepat satu jawab.
• $\det A = 0$ → jawab tidak tunggal atau tidak ada.

---

C. Penerapan pada Ilmu Ukur Analitik

1. Persamaan Garis Melalui Dua Titik: Garis melalui $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ ditentukan oleh: $\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ yang menghasilkan persamaan $ax + by + c = 0$.

2. Persamaan Lingkaran Melalui Tiga Titik: Lingkaran melalui $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ ditentukan oleh: $\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ yang menghasilkan persamaan $a(x^2+y^2) + bx + cy + d = 0$.

3. Persamaan Bidang Melalui Tiga Titik: Bidang melalui $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$, $(x_3, y_3, z_3)$ ditentukan oleh: $\begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ yang menghasilkan persamaan $ax + by + cz + d = 0$.

4. Prinsip Umum: Persamaan geometri diturunkan dari syarat sistem persamaan linear homogen memiliki jawab tak trivial, yang ekuivalen dengan nolnya determinan matriks koefisien.