Ruang Vektor R² dan R³

Kegiatan Belajar 1: Vektor pada $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$

A. Vektor dan Representasinya

1. Vektor adalah besaran yang memiliki panjang dan arah, digambarkan sebagai "anak panah" di ruang. Titik runcing disebut titik ujung, titik pangkal disebut titik pangkal.

2. Vektor-vektor yang memiliki panjang dan arah sama disebut ekivalen. Vektor ekivalen dianggap sama, sehingga titik pangkal vektor dapat ditempatkan di mana saja tanpa mengubah vektor tersebut.

3. Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik asal koordinat. Di $\mathbb{R}^2$, vektor posisi titik $A(a_1, a_2)$ dinyatakan sebagai $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$. Di $\mathbb{R}^3$: $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$.

---

B. Penjumlahan Vektor dan Perkalian Skalar

1. Kesamaan vektor: Dua vektor $\mathbf{a} = \mathbf{b}$ jika dan hanya jika setiap komponennya sama, yaitu $a_i = b_i$ untuk semua $i$.

2. Penjumlahan: $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{bmatrix}$. Secara geometri menggunakan aturan jajaran genjang.

3. Perkalian skalar: $s\mathbf{a} = \begin{bmatrix} sa_1 \\ sa_2 \\ sa_3 \end{bmatrix}$. Mengubah panjang (dan arah jika $s < 0$) vektor.

4. Sepuluh sifat ruang vektor yang dipenuhi $\mathbb{R}^n$:

• Tertutup: $\mathbf{a} + \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ dan $s\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$
• Komutatif: $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$
• Asosiatif: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$
• Identitas: $\exists\, \mathbf{0} \in \mathbb{R}^n$ sehingga $\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}$
• Invers: $\forall\, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n\, \exists\, {-\mathbf{a}} \in \mathbb{R}^n$ sehingga $\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}$
• $s(t\mathbf{a}) = (st)\mathbf{a}$
• $s(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = s\mathbf{a} + s\mathbf{b}$
• $(s + t)\mathbf{a} = s\mathbf{a} + t\mathbf{a}$
• $1 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a}$

---

C. Kombinasi Linear

1. Vektor $\mathbf{a}$ adalah kombinasi linear dari himpunan $\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m\}$ jika terdapat skalar $s_1, s_2, \ldots, s_m$ sehingga $\mathbf{a} = \sum_{j=1}^{m} s_j \mathbf{u}_j$.

2. Dalil penting: Vektor $\mathbf{a}$ adalah kombinasi linear dari $\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\}$ jika dan hanya jika sistem persamaan linear $U\mathbf{x} = \mathbf{a}$ punya jawab, di mana $U = [\mathbf{u}_1\ \mathbf{u}_2\ \cdots\ \mathbf{u}_m]$.

3. Vektor nol $\mathbf{0}$ selalu merupakan kombinasi linear dari setiap himpunan vektor, karena $\mathbf{0} = \sum 0 \cdot \mathbf{u}_j$.

---

D. Ruang Bagian Linear

1. Definisi: Himpunan bagian $P \subseteq \mathbb{R}^n$ disebut ruang bagian (subruang) linear jika $P$ sendiri merupakan ruang vektor (memenuhi 10 sifat ruang vektor).

2. Dalil uji subruang: $P$ adalah ruang bagian dari $\mathbb{R}^n$ jika dan hanya jika $P$ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar:

• (i) $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in P$
• (ii) $\alpha\mathbf{u} \in P$

3. Kedua syarat di atas ekivalen dengan syarat kombinasi linear: $\forall\, \mathbf{u}, \mathbf{v} \in P$ dan $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ berlaku $\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v} \in P$.

4. Syarat perlu subruang: $\mathbf{0} \in P$. Jika $\mathbf{0} \notin P$, maka $P$ bukan ruang bagian. Namun keberadaan $\mathbf{0}$ saja tidak cukup.

5. Bentang linear dari $K = \{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\}$ adalah himpunan semua kombinasi linear dari $K$. Bentang linear selalu merupakan ruang bagian. $K$ disebut himpunan pembentang ruang tersebut.

---

Kegiatan Belajar 2: Kebebasan Linear dan Basis di $\mathbb{R}^3$

A. Kebebasan Linear

1. Definisi: Himpunan $S = \{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\}$ di $\mathbb{R}^n$ bebas linear jika $\sum_{j=1}^{m} s_j \mathbf{u}_j = \mathbf{0}$ berakibat $s_j = 0$ untuk semua $j$.

2. Dalil uji: $B = \{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\}$ bebas linear jika dan hanya jika sistem homogen $[B]\mathbf{s} = \mathbf{0}$ hanya punya jawab trivial $\mathbf{s} = \mathbf{0}$.

3. Himpunan tak bebas linear (bergantungan linear): Himpunan vektor yang tidak bebas linear. Jika tak bebas linear, sekurangnya satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lainnya.

4. Dalil kardinalitas:

• Jika $m > 3$, himpunan $m$ vektor di $\mathbb{R}^3$ selalu tak bebas linear (karena matriks koefisien hanya punya 3 baris).
• Himpunan yang memuat vektor nol selalu tak bebas linear.
• Dua vektor tak bebas linear jika dan hanya jika salah satu adalah konstanta kali yang lain.

---

B. Basis di $\mathbb{R}^3$

1. Definisi: Himpunan $B = \{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\}$ disebut basis untuk $\mathbb{R}^3$ jika $B$ bebas linear dan membangun (membentang) $\mathbb{R}^3$.

2. Basis baku $\mathbb{R}^3$: $B_0 = \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\} = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$.

3. Dalil kardinalitas basis: Jika $B$ basis dari $\mathbb{R}^3$, maka $B$ mempunyai tepat 3 unsur. Jika $m < 3$ maka tidak cukup membangun $\mathbb{R}^3$; jika $m > 3$ maka tak bebas linear.

4. Dalil keunikan representasi: $B$ adalah basis $\mathbb{R}^3$ jika dan hanya jika setiap $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari $B$.

5. Dalil determinan: Himpunan 3 vektor di $\mathbb{R}^3$ adalah basis jika dan hanya jika bebas linear, yang ekuivalen dengan $\det[B] \neq 0$.

---

Kegiatan Belajar 3: Persamaan Parameter Garis dan Bidang

A. Persamaan Parameter Garis

1. Garis melalui titik pangkal dengan vektor arah $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$: $\mathbf{r} = t\mathbf{u},\ t \in \mathbb{R}$.

2. Garis melalui titik dengan vektor posisi $\mathbf{a}$, vektor arah $\mathbf{u}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{u},\ t \in \mathbb{R}$.

3. Garis melalui dua titik $\mathbf{p}$ dan $\mathbf{q}$: $\mathbf{r} = \mathbf{p} + t(\mathbf{q} - \mathbf{p}),\ t \in \mathbb{R}$. Bentuk lain: $\mathbf{r} = (1-t)\mathbf{p} + t\mathbf{q}$ (kombinasi afin).

4. Sinar (setengah garis):

• Sinar berpangkal di $\mathbf{a}$ ke arah $\mathbf{u}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{u},\ t > 0$ (tak memuat titik pangkal) atau $t \geq 0$ (memuat titik pangkal).

5. Ruas garis (segmen):

• Terbuka: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t(\mathbf{b} - \mathbf{a}),\ 0 < t < 1$ (tak memuat ujung)
• Tertutup: $0 \leq t \leq 1$ (memuat kedua ujung)

---

B. Persamaan Parameter Bidang

1. Bidang melalui tiga titik dengan vektor posisi $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + s(\mathbf{b} - \mathbf{a}) + t(\mathbf{c} - \mathbf{a}),\ s, t \in \mathbb{R}$.

2. Elemen penting persamaan bidang: satu vektor posisi titik pada bidang ($\mathbf{a}$) dan dua vektor arah ($\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$) yang terletak di bidang dan berpangkal di $\mathbf{a}$.

3. Bidang memuat garis $\mathbf{r} = \mathbf{a} + s\mathbf{u}$ dan titik $P$ (vektor posisi $\mathbf{p}$): $\mathbf{r} = \mathbf{a} + s\mathbf{u} + t(\mathbf{p} - \mathbf{a}),\ s, t \in \mathbb{R}$.

4. Bidang memuat dua garis sejajar $\mathbf{g}: \mathbf{r} = \mathbf{a} + s\mathbf{u}$ dan $\mathbf{h}: \mathbf{r} = \mathbf{b} + s\mathbf{u}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + s\mathbf{u} + t(\mathbf{b} - \mathbf{a}),\ s, t \in \mathbb{R}$.