Perkalian Titik dan Perkalian Silang

Kegiatan Belajar 1: Perkalian Titik

A. Panjang Vektor

1. Panjang vektor di $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$ Untuk vektor $\mathbf{a}$ di $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$, panjang vektor ditentukan menggunakan dalil Pythagoras: $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \quad (\mathbb{R}^2), \qquad |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \quad (\mathbb{R}^3)$

2. Norma dan vektor satuan

• Norma: Panjang vektor $\mathbf{a}$ disebut norma, dinotasikan $|\mathbf{a}|$ atau $\|\mathbf{a}\|$.
• Vektor satuan: Vektor satuan pada arah $\mathbf{a}$ adalah $\mathbf{e}_a = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$, dengan $|\mathbf{e}_a| = 1$.
• Jarak dua titik: Jarak antara ujung vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah $|\mathbf{a} - \mathbf{b}|$.

B. Perkalian Titik di $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$

1. Definisi perkalian titik Perkalian titik (dot product) vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ di mana $\theta$ adalah sudut terkecil antara $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$, $0 \leq \theta \leq \pi$.

2. Rumus dalam komponen Dengan dalil cosinus pada ilmu ukur segitiga:

• $\mathbb{R}^3$: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• $\mathbb{R}^2$: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2$

3. Hubungan dengan sudut Jika $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$ dan $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$:

• $\theta$ lancip $\Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$
• $\theta$ tumpul $\Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$
• $\theta$ siku-siku $\Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$

4. Sifat-sifat perkalian titik Untuk $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$ dan $k \in \mathbb{R}$:

• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ (komutatif)
• $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$ (distributif)
• $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} > 0$ jika $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$; $= 0$ jika $\mathbf{a} = \mathbf{0}$

C. Keortogonalan dan Proyeksi

1. Keortogonalan $\mathbf{a}$ ortogonal pada $\mathbf{b}$ ($\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$) jika dan hanya jika $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$. Setiap vektor ortogonal pada vektor nol.

2. Proyeksi ortogonal

• Proyeksi $\mathbf{a}$ pada $\mathbf{b}$: $P_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_b)\,\mathbf{e}_b$
• Komponen orthogonal: $\mathbf{a} - P_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$, karena $(\mathbf{a} - P_{\mathbf{b}}\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = 0$.

---

Kegiatan Belajar 2: Perkalian Silang di $\mathbb{R}^3$

A. Definisi Perkalian Silang

1. Definisi Perkalian silang (cross product) dua vektor di $\mathbb{R}^3$ menghasilkan vektor: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\; a_3b_1 - a_1b_3,\; a_1b_2 - a_2b_1)$

2. Rumus determinan $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ Komponen ke-$j$ diperoleh dari determinan matriks $2 \times 2$ setelah membuang kolom ke-$j$, dengan urutan siklis.

3. Vektor satuan baku

• $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$, $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ (siklis searah jarum jam)
• $\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$, $\mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}$, $\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$ (berlawanan → negatif)

B. Sifat-Sifat Perkalian Silang

1. Sifat aritmetika Untuk $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ dan $k \in \mathbb{R}$:

• $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ (anti-komutatif)
• $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ (distributif)
• $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$
• $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$
• Perkalian silang tidak asosiatif: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{k} = \mathbf{0}$, tetapi $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{k}) = -\mathbf{k}$.

2. Hubungan perkalian titik dan silang

• $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}$
• $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$ — artinya $\mathbf{a} \times \mathbf{b} \perp \mathbf{a}$ dan $\perp \mathbf{b}$
• $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2$

C. Luas Jajaran Genjang dan Aplikasi

1. Panjang dan luas $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$

• $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ = luas jajaran genjang dengan titik sudut: origin, ujung $\mathbf{a}$, ujung $\mathbf{b}$, ujung $\mathbf{a} + \mathbf{b}$.
• Luas segitiga = $\frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$.

2. Jarak titik ke garis Jarak titik $A$ ke garis $g$: $d = \dfrac{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{b}|}$, di mana $\mathbf{a}$ berpangkal pada titik di $g$ menuju $A$, $\mathbf{b}$ sejajar $g$.

---

Kegiatan Belajar 3: Garis dan Bidang di $\mathbb{R}^3$

A. Persamaan Garis

1. Persamaan parameter garis Garis melalui titik dengan vektor posisi $\mathbf{a}$ dengan vektor arah $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{u}, \quad t \in \mathbb{R}$

2. Persamaan koordinat (simetri) garis Dengan mengeliminasi parameter $t$ (ketika $u_1, u_2, u_3 \neq 0$): $\frac{x_1 - a_1}{u_1} = \frac{x_2 - a_2}{u_2} = \frac{x_3 - a_3}{u_3}$ Jika salah satu komponen $u_j = 0$, tulis langsung $x_j = a_j$.

B. Persamaan Bidang

1. Persamaan parameter bidang Bidang melalui ujung vektor $\mathbf{a}$ dengan vektor arah $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + s\mathbf{u} + t\mathbf{v}, \quad s, t \in \mathbb{R}$

2. Vektor normal dan persamaan normal bidang

• Normal bidang: $\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$, tegak lurus semua vektor di bidang.
• Persamaan normal: $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{a}) = 0$
• Bentuk kartesius: $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$

3. Menentukan persamaan bidang

• Melalui 3 titik: $\mathbf{a}$ dari posisi satu titik, $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ dari vektor antar titik, lalu $\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$.
• Memuat garis dan titik: $\mathbf{a}$ dari titik pada garis, $\mathbf{u}$ dari arah garis, $\mathbf{v}$ dari vektor ke titik luar.
• Dua garis sejajar: $\mathbf{u}$ = arah bersama, $\mathbf{v}$ menghubungkan titik dari masing-masing garis.