Studi Deskriptif Data

Kegiatan Belajar 1: Organisasi dan Deskripsi Data

A. Jenis-Jenis Data

1. Data Kualitatif (Kategorik) Data kualitatif adalah data yang hanya diklasifikasikan menurut kategori, bukan ukuran numerik. Contohnya: warna kulit (putih, kuning, cokelat, hitam), jenis kelamin (laki-laki, perempuan), jenis darah (A, B, AB, O).

• Data kualitatif: data yang dicatat berdasarkan sifat atau kategori tanpa pengukuran numerik.
• Frekuensi relatif: proporsi observasi dalam tiap kategori, dihitung sebagai frekuensi kategori dibagi banyak observasi seluruhnya.

2. Data Kuantitatif (Numerik) Data kuantitatif diperoleh dari pengukuran dengan skala numerik dan terdiri dari dua jenis:

• Data diskrit: skala pengukuran berupa bilangan bulat dengan jarak tertentu antar nilai. Contoh: ukuran sepatu, banyak kecelakaan lalu lintas.
• Data kontinu: skala pengukuran tanpa jarak, idealnya dapat menjalani setiap nilai dalam suatu interval. Contoh: tinggi, berat, daya tahan hidup.

B. Penyajian Data dalam Tabel dan Grafik

1. Data Kategorik Data kategorik disusun dalam tabel frekuensi yang menunjukkan banyak individu dalam setiap kategori. Pemahaman diperkuat dengan menghitung frekuensi relatif:

$\text{Frekuensi relatif} = \frac{\text{frekuensi kategori}}{\text{banyak observasi seluruhnya}}$

2. Data Diskrit Data diskrit diringkaskan dalam tabel frekuensi dengan mendaftar nilai-nilai berbeda beserta frekuensi dan frekuensi relatifnya. Penyajian grafik:

• Diagram garis: garis tegak lurus pada sumbu mendatar dengan tinggi proporsional terhadap frekuensi relatif.
• Histogram: persegi panjang tegak lurus sumbu mendatar dengan pusat pada nilai variabel dan luas menunjukkan frekuensi relatif.

3. Data Kontinu Untuk data kontinu, penyajian menyesuaikan banyak observasi:

• Diagram titik: digunakan untuk data sedikit (kurang dari 20–25 observasi). Setiap pengukuran digambarkan sebagai titik pada garis berskala.

• Distribusi frekuensi interval: data dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval untuk data yang lebih besar. Langkah-langkah penyusunan:

  • (a) Cari nilai minimum dan maksimum.
  • (b) Pilih interval dengan panjang sama yang meliputi rentang data tanpa tumpang tindih.
  • (c) Cacah frekuensi tiap kelas.
  • (d) Hitung frekuensi relatif = frekuensi kelas / banyak observasi seluruhnya.

4. Histogram Histogram menyajikan distribusi frekuensi secara grafik. Pada tiap interval kelas digambar persegi panjang tegak lurus sumbu mendatar. Tinggi persegi panjang:

$\text{Tinggi} = \frac{\text{frekuensi relatif}}{\text{lebar interval}}$

Jika semua interval mempunyai lebar sama, tinggi persegi panjang proporsional terhadap frekuensi relatif.

5. Diagram Batang dan Daun (Stem-and-Leaf) Diagram batang dan daun merupakan cara penyajian efisien yang lebih informatif dari histogram karena nilai data asli tetap terpelihara. Caranya: pisahkan observasi menurut angka pokok (batang) dan angka kedua (daun), lalu susun daun berurut dari kecil ke besar pada tiap baris.

---

Kegiatan Belajar 2: Beberapa Ukuran Penting

A. Ukuran Tengah (Pemusatan)

1. Mean Sampel ($\bar{x}$) Mean adalah jumlah seluruh pengukuran dibagi banyak pengukuran:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Mean menunjukkan pusat himpunan data — titik keseimbangan (titik berat) jika data digambarkan sebagai bola-bola pada batang mendatar.

• Mean: nilai rata-rata yang mengindikasikan lokasi pusat distribusi data.

2. Median Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan dari terkecil ke terbesar. Secara kasar, median membagi data menjadi dua bagian yang sama besar (50% di bawah, 50% di atas).

• Median: nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar.
• Jika $n$ ganjil: median = nilai tengah tunggal.
• Jika $n$ genap: median = rata-rata dua nilai tengah.

Median tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem (outlier), menjadikannya lebih bermakna untuk distribusi yang sangat tidak simetrik.

3. Kuartil dan Persentil Kuartil memperluas konsep median dengan membagi data menjadi empat bagian:

• Kuartil pertama ($Q_1$) = persentil ke-25

• Kuartil kedua ($Q_2$) = persentil ke-50 = median

• Kuartil ketiga ($Q_3$) = persentil ke-75

• Persentil ke-$100p$: nilai sedemikian sehingga paling sedikit $100p\%$ observasi $\leq$ nilai ini dan paling sedikit $100(1-p)\%$ observasi $\geq$ nilai ini.

B. Ukuran Variasi (Pemencaran)

1. Variansi Sampel ($s^2$) Variansi mengukur rata-rata deviasi kuadrat terhadap mean:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

• Deviasi: $x_i - \bar{x}$ — penyimpangan tiap observasi terhadap mean.
• Derajat bebas ($n-1$): karena jumlah deviasi selalu nol, hanya $n-1$ deviasi yang bebas ditentukan.

Rumus alternatif (lebih efisien untuk hitungan):

$s^2 = \frac{1}{n-1}\left[\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}\right]$

2. Deviasi Standar Sampel ($s$) Deviasi standar adalah akar kuadrat variansi, sehingga satuannya sama dengan satuan data:

$s = \sqrt{s^2}$

Semakin besar pemencaran data, semakin besar nilai $s$.

• Aturan empirik (distribusi simetrik/bentuk gunung):
  • $\approx 68\%$ data terletak dalam $\bar{x} \pm s$
  • $\approx 95\%$ data terletak dalam $\bar{x} \pm 2s$
  • $\approx 99{,}7\%$ data terletak dalam $\bar{x} \pm 3s$

C. Ukuran Variasi Lain

1. Rentang Sampel

$\text{Rentang} = \text{observasi terbesar} - \text{observasi terkecil}$

Rentang mudah dihitung tetapi sangat sensitif terhadap nilai ekstrem dan tidak memberikan informasi tentang sebaran data di antara kedua ujung.

2. Rentang Antarkuartil (IQR)

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$

Rentang antarkuartil menunjukkan interval yang memuat 50% observasi tengah dan tidak terganggu oleh nilai-nilai yang sangat besar atau sangat kecil.

3. Diagram Kotak (Box Plot) Diagram kotak menggambarkan ringkasan data berdasarkan kuartil. Kotak dari $Q_1$ ke $Q_3$ menunjukkan 50% data tengah, dengan garis di dalam kotak menunjukkan median. Garis dari $Q_1$ ke nilai minimum dan dari $Q_3$ ke nilai maksimum menunjukkan rentang data penuh. Diagram ini sangat efektif untuk membandingkan beberapa sampel secara visual.

4. Skala $z$ (Skor Standar) Skala $z$ mengukur posisi titik data relatif terhadap mean dalam satuan deviasi standar:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Mengubah data dari dua sumber berbeda ke skala $z$ memungkinkan perbandingan yang bermakna meskipun satuan atau skala aslinya berbeda.