Unsur-unsur Peluang

Kegiatan Belajar 1: Peluang Suatu Peristiwa

A. Definisi Peluang

1. Ruang Sampel dan Peluang

Konsep peluang merupakan dasar penalaran dalam inferensi statistik. Peluang suatu peristiwa adalah nilai numerik yang mengukur seberapa besar kemungkinan peristiwa itu terjadi.

• Ruang sampel ($S$): himpunan semua hasil elementer (hasil berbeda) yang mungkin dari suatu eksperimen
• Peristiwa ($A$): himpunan bagian dari ruang sampel
• Sifat peluang: $P(e_i) \geq 0$ untuk semua hasil elementer $e_i$, dan $\sum P(e_i) = 1$ untuk semua $e_i$ dalam $S$
• Peluang suatu peristiwa: $P(A) = \sum P(e_i)$ untuk semua $e_i$ yang ada di dalam $A$

---

2. Model Peluang Uniform

Jika simetri eksperimen menjamin semua hasil elementer berkemungkinan sama:

$P(A) = \frac{\text{banyak } e \text{ dalam } A}{\text{banyak } e \text{ dalam } S}$

• Contoh dadu sempurna: $S = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6\}$, tiap $P(e_i) = \frac{1}{6}$. Peluang titik > 4: $P(\{e_5, e_6\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• Contoh mata uang logam dua kali: $S = \{MM, MB, BM, BB\}$, tiap hasil bernilai $\frac{1}{4}$. Peluang tepat satu muka: $P(\{MB, BM\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Contoh pengambilan bola: dari 42 bola merah dan 8 bola hijau, peluang terambil hijau: $P(H) = \frac{8}{50} = 0{,}16$
• Pengambilan random berarti semua elemen populasi berkemungkinan sama untuk terambil

---

3. Peluang sebagai Frekuensi Relatif Jangka Panjang

Ketika anggapan hasil berkemungkinan sama tidak dapat dipertanggungjawabkan, peluang ditentukan melalui frekuensi relatif:

$P(A) = \lim_{N \to \infty} r_N(A) = \lim_{N \to \infty} \frac{\text{banyaknya } A \text{ yang terjadi dalam } N \text{ pengulangan}}{N}$

• Sifat stabilitas jangka panjang: frekuensi relatif $r_N(A)$ berubah-ubah turun naik dengan $N$ kecil, tetapi cenderung stabil jika $N$ sangat besar
• Nilai stabil tersebut dijadikan pendekatan $P(A)$
• Contoh: pelemparan dadu 100 kali menghasilkan titik enam sebanyak 23 kali → $r_{100} = 0{,}23$. Dalam 200 kali pelemparan, 41 kali → $r_{200} = 0{,}205$. Nilai ini akan mendekati $P = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ untuk dadu sempurna
• Aplikasi: perusahaan asuransi jiwa, demografi mortalitas, dan kontrol kualitas bergantung pada sifat ini

---

Kegiatan Belajar 2: Rumus-rumus Peluang

A. Peluang Beberapa Peristiwa

1. Operasi Dasar Peristiwa

Tiga operasi dasar antar-peristiwa digunakan untuk membentuk peristiwa baru dari peristiwa yang sudah ada:

• Komplemen ($A'$): himpunan semua hasil elementer yang tidak ada di dalam $A$. Terjadinya $A'$ berarti $A$ tidak terjadi
• Gabungan/Union ($A \cup B$): himpunan semua hasil elementer yang ada di dalam $A$, di dalam $B$, atau di dalam keduanya
• Irisan/Intersection ($A \cap B$ atau $AB$): himpunan semua hasil elementer yang ada di dalam $A$ dan di dalam $B$ secara bersamaan
• Peristiwa saling pisah (mutually exclusive): $A$ dan $B$ saling pisah jika $AB = \emptyson$ (kosong), sehingga $P(AB) = 0$

---

2. Hukum Dasar Peluang

Dari operasi peristiwa di atas diturunkan tiga hukum peluang:

• Hukum komplemen: $P(A') = 1 - P(A)$
• Hukum penjumlahan (gabungan): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$. Jika $A$ dan $B$ saling pisah: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Diagram Venn: alat bantu grafis untuk menggambarkan ruang sampel dan hubungan antar-peristiwa, membantu visualisasi komposisi peristiwa kompleks

---

B. Peristiwa Bersyarat dan Independen

1. Peluang Bersyarat

Peluang $A$ berubah jika diketahui bahwa peristiwa $B$ telah terjadi:

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \quad \text{dengan syarat } P(B) > 0$

• Interpretasi: $P(A|B)$ adalah fraksi dari populasi yang mempunyai karakteristik $A$ di antara semua yang mempunyai karakteristik $B$
• Hukum perkalian peluang: $P(AB) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$
• Hukum perkalian beruntun untuk tiga peristiwa: $P(ABC) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|AB)$
• Contoh pengambilan berturutan: dari 25 orang (20 kaya, 5 berhutang), peluang keduanya berhutang: $P(H_1 H_2) = \frac{5}{25} \cdot \frac{4}{24} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033$

---

2. Independensi

Dua peristiwa $A$ dan $B$ disebut independen jika informasi tentang $B$ tidak mengubah peluang $A$:

$P(A|B) = P(A) \quad \Leftrightarrow \quad P(B|A) = P(B) \quad \Leftrightarrow \quad P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

• Peringatan: jangan keliru antara "saling pisah" dan "independen". Saling pisah: $P(AB) = 0$. Independen: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. Keduanya tidak dapat berlaku bersama kecuali salah satu bernilai nol
• Keandalan sistem seri: $P(S) = P(A_1) \cdot P(A_2)$ (kedua komponen harus berfungsi). Contoh: $0{,}98 \times 0{,}95 = 0{,}931$
• Keandalan sistem paralel: $P(S) = 1 - P(A_1') \cdot P(A_2')$ (cukup satu komponen berfungsi). Contoh: $1 - 0{,}02 \times 0{,}05 = 0{,}999$

---

C. Pengambilan Sampel dari Populasi Berhingga

1. Aturan Kombinasi

Banyak cara memilih $r$ objek dari $N$ objek berbeda (tanpa memperhatikan urutan):

$\binom{N}{r} = \frac{N!}{r!(N-r)!} = \frac{N \times (N-1) \times \cdots \times (N-r+1)}{r \times (r-1) \times \cdots \times 1}$

• Sifat simetri: $\binom{N}{r} = \binom{N}{N-r}$, memilih $r$ objek sama dengan memilih $(N-r)$ objek untuk ditinggal
• Nilai khusus: $\binom{N}{0} = 1$ dan $\binom{N}{1} = N$

---

2. Penghitungan Peluang dengan Kombinasi

Untuk pengambilan sampel random dari populasi berhingga, semua sampel berukuran $n$ mempunyai peluang sama:

$P(A) = \frac{\binom{k}{m} \cdot \binom{N-k}{n-m}}{\binom{N}{n}}$

di mana $k$ = banyak elemen dengan karakteristik tertentu, $m$ = banyak elemen yang terambil dengan karakteristik itu, $N$ = ukuran populasi, $n$ = ukuran sampel.

• Contoh: 12 calon (5 sosial, 7 eksakta), pilih 4. Peluang 1 eksakta dan 3 sosial: $P = \frac{\binom{7}{1}\binom{5}{3}}{\binom{12}{4}} = \frac{7 \times 10}{495} = 0{,}141$
• Pengambilan sampel random: definisi konseptual — setiap himpunan berukuran $n$ dari populasi $N$ mempunyai peluang sama $\frac{1}{\binom{N}{n}}$ untuk terpilih
• Praktik: diperlukan proses pemilihan mekanik (misalnya tabel angka random atau lotere) untuk menghindari bias yang tidak disadari