Distribusi Peluang dan Sifat-sifatnya

Kegiatan Belajar 1: Distribusi Peluang

A. Variabel Random

Variabel random adalah aturan penetapan nilai numerik yang berkaitan dengan setiap hasil elementer suatu eksperimen. Dalam bahasa matematika, variabel random adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada ruang sampel. Disebut "random" karena sebelum eksperimen dilakukan, nilai yang akan terjadi tidak dapat dipastikan.

• Variabel random diskrit: variabel yang hanya menjalani nilai-nilai berhingga atau tak berhingga yang dapat disusun dalam barisan. Contoh: banyak muka dalam pelemparan koin, banyak kecelakaan per hari
• Variabel random kontinu: variabel hasil pengukuran skala kontinu yang dapat menjalani semua nilai dalam suatu interval. Contoh: tinggi badan, berat, lama hidup pasien

Misalkan $X$ = banyak muka dalam tiga pelemparan koin seimbang. Nilai $X$ yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3. Peristiwa $\{X = 1\}$ terdiri dari tiga hasil elementer, sehingga $P(X = 1) = 3/8$.

---

B. Distribusi Peluang Variabel Random Diskrit

Distribusi peluang (fungsi peluang) dari variabel random diskrit $X$ adalah daftar semua nilai $X$ yang berbeda bersama peluang yang berkaitan. Distribusi peluang ditulis $f(x_i) = P(X = x_i)$ dan memenuhi dua sifat utama:

• $f(x_i) \geq 0$ untuk setiap $x_i$
• $\sum_{i=1}^{k} f(x_i) = 1$ — jumlah semua peluang harus sama dengan 1

Distribusi peluang menggambarkan bagaimana total peluang 1 terbagi-bagi untuk berbagai nilai variabel random.

1. Histogram Peluang

Histogram peluang dibuat dengan menempatkan setiap nilai $x_i$ pada sumbu horizontal dan membuat persegi panjang tegak yang luasnya sama dengan $f(x_i)$. Total luas di bawah histogram selalu sama dengan 1. Bentuk histogram membantu mengungkapkan pola dalam distribusi peluang.

2. Menghitung Peluang Peristiwa

Distribusi peluang $X$ dapat digunakan untuk menghitung peluang peristiwa yang dinyatakan dalam bentuk $X$. Misalnya untuk distribusi dengan nilai 0, 1, 2, 3, 4:

$P(X \geq 2) = f(2) + f(3) + f(4)$

$P(X < 2) = f(0) + f(1)$

Distribusi peluang dapat ditentukan secara deduktif (menggunakan model peluang yang diketahui) atau secara empiris (menggunakan frekuensi relatif dari data survei). Distribusi frekuensi relatif berasal dari sampel dan bervariasi antar sampel, sedangkan distribusi peluang adalah model teoretis stabil untuk populasi.

---

Kegiatan Belajar 2: Beberapa Sifat Distribusi Peluang

A. Nilai Harapan (Mean) dan Deviasi Standar

1. Mean (Nilai Harapan) Populasi

Motivasi mean populasi berasal dari perbandingan dengan mean sampel. Jika dadu dilempar sangat banyak kali, frekuensi relatif mendekati peluang $1/6$ untuk setiap titik. Mean populasi dihitung sebagai jumlah perkalian nilai dengan peluangnya:

$E(X) = \mu = \sum_x x \cdot f(x)$

Mean dinamakan juga nilai harapan, dilambangkan $E(X)$ atau $\mu$. Mean diinterpretasikan sebagai titik keseimbangan (titik berat) massa peluang — jika histogram dibuat dari lempeng baja, maka $\mu$ menunjukkan titik di mana lempeng seimbang.

2. Variansi dan Deviasi Standar

Variansi mengukur pemencaran distribusi peluang. Karena $\mu$ adalah pusat, variasi dinyatakan sebagai deviasi $(X - \mu)$:

$\sigma^2 = \text{Var}(X) = \sum_x (x - \mu)^2 \cdot f(x) = E(X^2) - \mu^2$

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

$\sigma^2$ disebut variansi populasi dan $\sigma$ disebut deviasi standar populasi.

---

B. Sifat-Sifat Mean dan Variansi

1. Sifat-Sifat Nilai Harapan

• $E(a) = a$ — harapan konstan adalah konstan itu sendiri
• $E(bX) = bE(X)$ — konstan dapat dikeluarkan dari tanda harapan
• $E(X + a) = E(X) + a$
• $E(cX^2 + bX + a) = cE(X^2) + bE(X) + a$
• $E[g(X) \pm h(X)] = E[g(X)] \pm E[h(X)]$ — harapan bersifat aditif

2. Sifat-Sifat Variansi

• $\text{Var}(a) = 0$ — variansi konstan adalah nol
• $\text{Var}(X + a) = \text{Var}(X)$ — penjumlahan konstan tidak mengubah variansi
• $\text{Var}(bX) = b^2 \text{Var}(X)$ — konstan dikuadratkan keluar
• $\text{Var}(a + bX) = b^2 \text{Var}(X)$

Sifat deviasi standar: $\text{ds}(a) = 0$, $\text{ds}(X + a) = \text{ds}(X)$, $\text{ds}(bX) = |b| \cdot \text{ds}(X)$.

3. Variabel Random Standar

Variabel random standar $Z$ diperoleh dari transformasi linear:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$Z$ mempunyai mean $0$ dan deviasi standar $1$. Transformasi ini memindahkan dan menskalakan distribusi sehingga tanpa satuan.

---

C. Pertidaksamaan Chebyshev

Pertidaksamaan Chebyshev memberikan batas atas peluang bahwa variabel random menyimpang dari mean-nya. Untuk sebarang konstan $k > 0$:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

atau ekuivalen:

$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}$

• Interpretasi: semakin besar $k$, semakin kecil peluang $X$ menyimpang dari $\mu$ sejauh $k$ kali deviasi standar
• Berlaku untuk distribusi apapun — tidak memerlukan asumsi bentuk distribusi tertentu
• Sifat konservatif: batas atas $1/k^2$ sering kali jauh lebih besar dari peluang sebenarnya

Contoh: jika $\mu = 12$ dan $\sigma = 2$, untuk $k = 3$:

$P(|X - 12| > 6) = P(\{X > 18\} \text{ atau } \{X < 6\}) \leq \frac{1}{9} \approx 0.111$

---

Kegiatan Belajar 3: Distribusi Peluang Bersama

A. Distribusi Peluang Bersama Dua Variabel Random

Ketika dua variabel random $X$ dan $Y$ diamati bersamaan dari satu eksperimen, kita memerlukan distribusi peluang bersama:

$f(x, y) = P(X = x, Y = y)$

Distribusi ini memenuhi: $f(x, y) \geq 0$ untuk semua $(x, y)$ dan $\sum_x \sum_y f(x, y) = 1$.

Contoh: Dua bola diambil random dari kotak berisi bola merah, biru, hijau. Jika $X$ = banyak bola merah dan $Y$ = banyak bola biru, maka distribusi bersama $f(x,y)$ memuat peluang semua kombinasi $(x, y)$ yang mungkin.

---

B. Distribusi Marginal dan Bersyarat

1. Distribusi Marginal

Dari distribusi bersama, distribusi marginal masing-masing variabel diperoleh dengan menjumlahkan atas variabel lain:

$g(x) = \sum_y f(x, y) \qquad h(y) = \sum_x f(x, y)$

Distribusi marginal $g(x)$ dan $h(y)$ masing-masing adalah distribusi peluang $X$ dan $Y$ secara terpisah.

2. Distribusi Bersyarat

Distribusi peluang bersyarat $X$ jika diketahui $Y = y$:

$f(x|y) = \frac{f(x, y)}{h(y)}, \quad h(y) \neq 0$

Demikian pula distribusi bersyarat $Y$ jika diketahui $X = x$:

$f(y|x) = \frac{f(x, y)}{g(x)}, \quad g(x) \neq 0$

3. Independensi

$X$ dan $Y$ dikatakan independen jika dan hanya jika:

$f(x, y) = g(x) \cdot h(y) \quad \text{untuk semua } (x, y)$

Jika hubungan ini tidak berlaku untuk minimal satu pasangan $(x, y)$, maka $X$ dan $Y$ tidak independen.

---

C. Kovariansi dan Koefisien Korelasi

1. Sifat-Sifat Nilai Harapan Bersama

• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ — berlaku untuk semua $X, Y$
• $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ — berlaku khusus jika $X$ dan $Y$ independen

2. Kovariansi

Kovariansi mengukur hubungan linear antara dua variabel random:

$\sigma_{XY} = \text{Kov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = E(XY) - \mu_X \mu_Y$

• Positif: $X$ tinggi berkaitan dengan $Y$ tinggi
• Negatif: $X$ tinggi berkaitan dengan $Y$ rendah
• Nol: tidak ada hubungan linear (jika independen maka kovariansi nol, tetapi sebaliknya belum tentu)

3. Variansi Jumlah/Selisih

$\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\,\text{Kov}(X,Y)$

$\text{Var}(aX - bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) - 2ab\,\text{Kov}(X,Y)$

Jika $X$ dan $Y$ independen (kovariansi = 0): $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$.

4. Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi menstandarisasi kovariansi sehingga bernilai antara $-1$ dan $+1$:

$\rho = \text{Korr}(X, Y) = \frac{\text{Kov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$

• Nilai $+1$ atau $-1$ tercapai jika $X$ dan $Y$ berhubungan linear sempurna
• Koefisien korelasi tidak berubah jika konstan ditambahkan atau variabel dikalikan konstan bertanda sama