Distribusi Binomial dan Aplikasi dalam Uji Hipotesis

Kegiatan Belajar 1: Distribusi Binomial

A. Model Bernoulli

Situasi pengambilan sampel dari populasi dengan elemen dikotomi (dua kategori) sangat umum dalam kehidupan. Setiap pengulangan eksperimen disebut satu trial, dengan dua hasil yang mungkin: sukses (S) dan tidak sukses (T). "Sukses" di sini tidak mengandung arti positif — hanya menunjukkan kategori yang menjadi perhatian utama.

1. Syarat Bernoulli Trial

• (a) Setiap trial menghasilkan salah satu dari dua hasil: sukses (S) atau tidak sukses (T)
• (b) Peluang sukses tetap dari trial ke trial: $P(S) = p$, $P(T) = q = 1 - p$
• (c) Trial-trial bersifat independen — hasil satu trial tidak mempengaruhi trial lain

2. Sampel dengan dan Tanpa Pengembalian

• Sampel dengan pengembalian: syarat Bernoulli trial terpenuhi sepenuhnya karena komposisi populasi tidak berubah
• Sampel tanpa pengembalian: syarat independensi tidak terpenuhi karena komposisi populasi berubah setelah pengambilan. Namun jika populasi besar dan sampel kecil (< 10% populasi), pelanggaran independensi dapat diabaikan dan model Bernoulli trial dapat digunakan sebagai pendekatan

---

B. Distribusi Binomial

Jika Bernoulli trial dilakukan $n$ kali dengan peluang sukses $p$, maka banyak sukses $X$ mempunyai distribusi binomial. Variabel random binomial bergantung pada dua parameter: $n$ (banyak trial) dan $p$ (peluang sukses).

1. Rumus Distribusi Binomial

$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, n$

di mana $q = 1 - p$ dan $\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$.

2. Mean dan Deviasi Standar Binomial

$\mu = np$

$\sigma = \sqrt{npq}$

3. Bentuk Distribusi

• Jika $p = 0,5$: distribusi simetrik dengan peluang tertinggi di tengah
• Jika $p < 0,5$: distribusi menceng ke kanan (ekor panjang ke kanan)
• Jika $p > 0,5$: distribusi menceng ke kiri (ekor panjang ke kiri)
• Menukar nilai $p$ dan $q$ membalik distribusi

4. Menggunakan Tabel Binomial

Tabel binomial memberikan $P(X \leq c) = \sum_{x=0}^{c} f(x)$. Peluang interval diperoleh dari selisih:

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

---

C. Distribusi Hipergeometrik

Pengambilan sampel tanpa pengembalian dari populasi berhingga menghasilkan distribusi hipergeometrik. Parameter: $N$ (ukuran populasi), $C$ (banyak elemen cacat), $n$ (ukuran sampel).

$P(X = x) = \frac{\binom{C}{x}\binom{N-C}{n-x}}{\binom{N}{n}}$

• Mean: $\mu = np$ dengan $p = C/N$
• Variansi: $\sigma^2 = npq \cdot \frac{N-n}{N-1}$ — terdapat faktor koreksi populasi berhingga $\frac{N-n}{N-1}$
• Jika $n/N$ sangat kecil, faktor koreksi mendekati 1 dan distribusi hipergeometrik mendekati binomial dengan $p = C/N$

---

D. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson digunakan untuk memodelkan peristiwa yang jarang terjadi dalam banyak trial, atau kejadian random per unit waktu/ruang.

$P(X = x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots$

di mana $e \approx 2,71828$ dan $m$ adalah rata-rata banyak kejadian.

• Parameter: $m = np$ (rata-rata kejadian per interval)
• Pendekatan untuk binomial: jika $n$ sangat besar, $p$ sangat kecil, dan $np$ sedang, maka distribusi binomial mendekati Poisson
• Mean dan deviasi standar: $\mu = m$, $\sigma = \sqrt{m}$

---

Kegiatan Belajar 2: Uji Hipotesis untuk Proporsi

A. Hipotesis Nol dan Alternatif

Uji hipotesis statistik bertujuan menentukan apakah dugaan tentang karakteristik populasi didukung kuat oleh data sampel.

• Hipotesis nol ($H_0$): pernyataan yang diasumsikan benar kecuali data menentangnya dengan kuat (analogi: terdakwa "tidak bersalah")
• Hipotesis alternatif ($H_1$): pernyataan yang ingin dibuktikan dengan dukungan data sampel

1. Perumusan

Pernyataan yang ingin ditetapkan secara statistik dirumuskan sebagai $H_1$, dan negatifnya sebagai $H_0$. Penolakan $H_0$ berarti mendukung $H_1$. Misalnya:

$H_0: p \leq 0{,}4 \quad \text{vs} \quad H_1: p > 0{,}4$

---

B. Dua Jenis Kesalahan

• Kesalahan Tipe I: menolak $H_0$ padahal $H_0$ benar (lebih serius)
• Kesalahan Tipe II ($\beta$): gagal menolak $H_0$ padahal $H_1$ benar

1. Tingkat Signifikansi ($\alpha$)

Peluang kesalahan tipe I terbesar suatu uji, ditentukan pada titik batas antara $H_0$ dan $H_1$. Biasanya ditetapkan rendah: $\alpha = 0{,}01$; $0{,}05$; atau $0{,}10$.

2. Statistik Penguji dan Daerah Penolakan

Uji hipotesis ditentukan oleh:

• Statistik penguji: kuantitas yang dihitung dari data sampel (misalnya $X$ = banyak sukses)
• Daerah penolakan: himpunan nilai statistik penguji yang menyebabkan $H_0$ ditolak

---

C. Memilih Suatu Uji

Dalam praktik, $\alpha$ dikendalikan di bawah tingkat toleransi. Langkah:

1. Hitung $P(X \geq c)$ pada titik batas $H_0$/$H_1$ dari tabel binomial
2. Pilih daerah penolakan yang memenuhi ketentuan $\alpha$
3. Jangan menyusutkan daerah penolakan lebih dari perlu, karena hal itu memperbesar $\beta$

---

D. Peluang Signifikansi (Nilai-P)

Nilai-P adalah $\alpha$ terkecil yang masih menyebabkan $H_0$ ditolak berdasarkan nilai observasi. Nilai-P mengukur kekuatan fakta dalam menentang $H_0$:

• Nilai-P kecil → pembenaran kuat untuk menolak $H_0$
• Nilai-P besar → data tidak cukup kuat menentang $H_0$

Kesimpulan uji dinyatakan:

• "$H_0$ ditolak pada tingkat signifikansi $\alpha$" — jika observasi jatuh di daerah penolakan
• "$H_0$ tidak ditolak pada tingkat signifikansi $\alpha$" — bukan berarti $H_0$ diterima, melainkan kurang kuatnya fakta untuk menolak

---

E. Kekuatan Suatu Uji

Kekuatan uji adalah peluang menolak $H_0$ ketika $H_1$ benar, yaitu $1 - \beta$. Grafik $P(\text{menolak } H_0)$ versus nilai parameter disebut kurva kekuatan uji:

• Di bawah $H_0$ ($p < p_0$): tinggi kurva = peluang kesalahan tipe I
• Di bawah $H_1$ ($p > p_0$): tinggi kurva = kekuatan uji = $1 - \beta$

Semakin kecil daerah penolakan → $\alpha$ lebih kecil tetapi $\beta$ lebih besar. Kompromi harus dicapai karena $\alpha$ dan $\beta$ tidak dapat keduanya diminimalkan dengan ukuran sampel tetap. Praktik biasa: kendalikan $\alpha$ di bawah tingkat yang ditentukan terlebih dahulu.