Distribusi Normal dan Distribusi Peluang

Kegiatan Belajar 1: Model Peluang Variabel Random Kontinu

A. Distribusi Peluang Kontinu

Variabel random kontinu dapat menjalani setiap nilai dalam suatu interval, diukur dengan skala kontinu seperti berat, panjang, dan temperatur. Konsep distribusi peluang kontinu dimotivasi dari histogram frekuensi relatif: dengan bertambahnya observasi dan mengecilnya interval kelas, histogram mendekati kurva halus yang disebut kurva kepadatan peluang.

1. Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi kepadatan peluang $f(x)$ menggambarkan distribusi peluang variabel random kontinu $X$ dan mempunyai sifat:

• $f(x) \geq 0$ untuk semua $x$
• Luas total di bawah kurva = 1
• $P(a < X < b)$ = luas di bawah kurva antara $a$ dan $b$

Penting: $f(x)$ bukan peluang langsung. Peluang pada satu titik selalu nol: $P(X = x) = 0$. Untuk distribusi kontinu, hanya peluang interval yang bermakna. Akibatnya:

$P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b)$

2. Menghitung Peluang Interval

$P(a < X < b) = \text{luas ke kiri dari } b - \text{luas ke kiri dari } a$

$P(X > b) = 1 - \text{luas ke kiri dari } b$

---

B. Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi yang paling penting dalam statistika. Kurva berbentuk gunung simetrik dengan parameter $\mu$ (mean) dan $\sigma$ (deviasi standar).

1. Fungsi Kepadatan Normal

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty$

di mana $\pi \approx 3{,}1416$ dan $e \approx 2{,}7183$.

Notasi: $X \sim N(\mu; \sigma^2)$.

2. Ciri-Ciri Distribusi Normal

• Kurva simetrik terhadap mean $\mu$ (puncak gunung)
• Tinggi kurva tidak pernah nol, tetapi mendekati nol di kedua ekor
• Menggeser $\mu$ hanya menggeser posisi pusat kurva tanpa mengubah bentuk
• Mengubah $\sigma$ mengubah tinggi maksimum dan lebar kurva: $\sigma$ kecil → kurva lebih runcing dan terkonsentrasi di sekitar $\mu$

3. Aturan Empiris (68-95-99.7)

$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) = 0{,}683$

$P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 0{,}954$

$P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) = 0{,}997$

---

C. Distribusi Normal Standar

Distribusi normal dengan $\mu = 0$ dan $\sigma = 1$ disebut distribusi normal standar, ditulis $N(0; 1)$. Variabel normal standar dilambangkan $Z$.

1. Menggunakan Tabel Normal Standar

Tabel normal memberikan luas ke kiri dari nilai $z$ tertentu: $P(Z < z)$.

• $P(Z < 0) = 0{,}5$ — sifat simetri
• $P(Z < -z) = P(Z > z) = 1 - P(Z < z)$ — sifat simetri
• $P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)$

Contoh: $P(Z < 1{,}37) = 0{,}9147$, maka $P(Z > 1{,}37) = 1 - 0{,}9147 = 0{,}0853$.

---

Kegiatan Belajar 2: Hitungan Peluang dengan Distribusi Normal

A. Transformasi ke Normal Standar

Setiap distribusi normal dapat ditransformasikan ke normal standar. Jika $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ maka:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0; 1)$

Aturan umum untuk menghitung peluang:

$P(a < X < b) = P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} < Z < \frac{b - \mu}{\sigma}\right)$

1. Contoh Penerapan

Jika $X \sim N(60; 16)$ (artinya $\sigma = 4$), maka:

$P(55 < X < 63) = P\left(\frac{55-60}{4} < Z < \frac{63-60}{4}\right) = P(-1{,}25 < Z < 0{,}75)$

$= 0{,}7734 - 0{,}1056 = 0{,}6678$

2. Mencari Persentil

Untuk mencari persentil ke-$p$ dari $N(\mu; \sigma^2)$: cari $z_p$ dari tabel normal standar, lalu konversi:

$X_p = \mu + \sigma \cdot z_p$

---

B. Pendekatan Normal untuk Binomial

Jika $n$ besar dan $p$ tidak terlalu dekat 0 atau 1, distribusi binomial mendekati distribusi normal.

1. Syarat Pendekatan

Jika $np$ dan $n(1-p)$ keduanya besar (misalnya $> 15$), maka:

$X_{\text{binomial}} \approx N\left(np;\; np(1-p)\right)$

$Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0;1)$

2. Koreksi Kontinuitas

Karena variabel binomial diskrit sedangkan normal kontinu, untuk pendekatan yang lebih akurat digunakan koreksi kontinuitas: $P(a \leq X \leq b) \approx P(a - 0{,}5 < X < b + 0{,}5)$.

---

C. Memeriksa Berlakunya Model Normal

1. Grafik Skor-Normal

Langkah pembuatan grafik skor-normal:

• Urutkan data sampel dari terkecil ke terbesar
• Dapatkan skor-normal: nilai $z$ yang membagi $N(0;1)$ menjadi interval berpeluang sama $1/(n+1)$
• Pasangkan observasi terurut ke-$j$ dengan skor-normal terurut ke-$j$

2. Interpretasi

• Pola garis lurus → mendukung model normal
• Kecenderungan lengkung → menunjukkan penyimpangan dari normal

3. Transformasi untuk Mendekati Normal

Jika data tidak normal, transformasi dapat membantu:

• Membuat nilai besar lebih besar: $x^2$
• Membuat nilai besar lebih kecil: $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x}$, $\ln x$, $1/x$

Pemilihan transformasi bersifat coba-coba. Jika histogram ekor panjang ke kanan, pertimbangkan $\sqrt{x}$ atau $\ln x$.

---

Kegiatan Belajar 3: Distribusi Sampling

A. Parameter dan Statistik

• Parameter: ciri numerik populasi yang konstan tetapi tidak diketahui (contoh: $\mu$, $\sigma$, $p$)
• Statistik: kuantitas yang dihitung dari data sampel, berubah-ubah antar sampel (contoh: $\bar{X}$, $S$)

Statistik adalah sumber informasi tentang parameter, tetapi nilainya bervariasi dalam pengambilan sampel yang berulang-ulang.

---

B. Distribusi Sampling Mean

Karena statistik berubah-ubah antar sampel, statistik adalah variabel random yang mempunyai distribusi peluang sendiri. Distribusi peluang suatu statistik disebut distribusi sampling.

1. Mean dan Deviasi Standar $\bar{X}$

Untuk sampel random berukuran $n$ dari populasi dengan mean $\mu$ dan deviasi standar $\sigma$:

$E(\bar{X}) = \mu \quad \text{(mean sampling = mean populasi)}$

$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \quad \Rightarrow \quad \text{ds}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

• Variabilitas $\bar{X}$ dikendalikan oleh $\sigma$ (variabilitas populasi) dan $n$ (ukuran sampel)
• Semakin besar $n$, semakin kecil $\text{ds}(\bar{X})$ dan distribusi $\bar{X}$ semakin terpusat di sekitar $\mu$

---

C. Teorema Limit Pusat

1. Jika Populasi Normal

Jika populasi berdistribusi $N(\mu; \sigma^2)$, maka $\bar{X}$ tepat berdistribusi normal:

$\bar{X} \sim N\left(\mu;\; \frac{\sigma^2}{n}\right)$

2. Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)

Jika populasi tidak normal tetapi $n$ cukup besar, maka $\bar{X}$ mendekati distribusi normal:

$\bar{X} \approx N\left(\mu;\; \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{untuk } n \text{ besar}$

Teorema ini sangat penting karena memungkinkan penggunaan distribusi normal untuk inferensi tentang $\mu$ meskipun distribusi populasi tidak diketahui bentuknya, asalkan ukuran sampel cukup besar.

3. Sampel Random

Observasi $X_1, X_2, \ldots, X_n$ disebut sampel random berukuran $n$ dari distribusi populasi jika observasi-observasi tersebut independen dan masing-masing berdistribusi sama seperti populasi. Untuk populasi besar dengan sampel relatif kecil, sampel tanpa pengembalian dapat dianggap sebagai sampel random.