Inferensi dengan Sampel Besar

Kegiatan Belajar 1: Inferensi Mean suatu Populasi dengan Sampel Besar

A. Konsep Dasar Inferensi Statistik

1. Pengertian Inferensi Masalah inferensi statistik timbul jika kita ingin melakukan generalisasi tentang suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi itu. Inferensi tentang parameter populasi selalu mengandung ketidakpastian karena didasarkan pada sampel, bukan seluruh populasi.

• Inferensi statistik: proses menarik kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan data sampel.
• Taksiran titik (estimator titik): satu nilai statistik yang dihitung dari data sampel untuk mendekati nilai parameter yang tidak diketahui.
• Sesatan standar (SS): deviasi standar suatu penaksir, mengukur variabilitas penaksir dari sampel ke sampel.

2. Dua Jenis Inferensi Utama

• (a) Penaksiran parameter: menentukan nilai dugaan (taksiran) tentang parameter yang tidak diketahui, bersama ketepatannya.
• (b) Pengujian hipotesis statistik: mempelajari apakah data sampel mendukung atau tidak mendukung dugaan peneliti tentang nilai sebenarnya parameter.

B. Taksiran Titik untuk Mean Populasi ($\mu$)

1. Mean Sampel sebagai Penaksir Untuk sampel random berukuran $n$: $X_1, X_2, \ldots, X_n$ dari populasi, penaksir titik untuk $\mu$ adalah mean sampel:

$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

Sifat-sifat penting mean sampel sebagai penaksir:

• (i) $E(\bar{X}) = \mu$ — mean sampel tidak bias (unbiased).
• (ii) $\text{ds}(\bar{X}) = \sigma/\sqrt{n}$ sehingga $\text{SS}(\bar{X}) = \sigma/\sqrt{n}$.
• (iii) Untuk $n$ besar, $\bar{X}$ mendekati distribusi normal dengan mean $\mu$ dan deviasi standar $\sigma/\sqrt{n}$.

2. Batas Besar Kesalahan Karena $\sigma$ biasanya tidak diketahui, sesatan standar ditaksir dengan $s/\sqrt{n}$. Untuk $n$ besar, batas besar kesalahan 95,4%:

$\text{Batas kesalahan} = \frac{2s}{\sqrt{n}}$

• Sesatan standar bukan kesalahan tertentu — ia mengindikasikan bahwa sebelum data diamati, peluang kesalahan berada dalam $\pm 2(\text{SS})$ adalah kira-kira 0,954.

C. Interval Kepercayaan untuk $\mu$

1. Konsep Interval Kepercayaan Interval kepercayaan $100(1-\alpha)\%$ adalah interval yang akan memuat nilai parameter sebenarnya dengan peluang $1-\alpha$. Tingkat kepercayaan biasanya 90%, 95%, atau 99%.

2. Rumus Interval Kepercayaan Sampel Besar Untuk $n$ besar (tanpa mengasumsikan distribusi normal populasi), interval kepercayaan $100(1-\alpha)\%$ untuk $\mu$:

$\left(\bar{X} - Z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + Z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$

di mana $Z_{\alpha/2}$ adalah titik $\alpha/2$ atas distribusi normal standar.

• $Z_{0.05} = 1.645$ untuk kepercayaan 90%
• $Z_{0.025} = 1.96$ untuk kepercayaan 95%
• $Z_{0.005} = 2.576$ untuk kepercayaan 99%

3. Interpretasi Interval kepercayaan bukan menyatakan peluang interval tertentu memuat $\mu$. Artinya: jika prosedur ini diulang berkali-kali, kira-kira $100(1-\alpha)\%$ dari interval yang dihitung akan memuat nilai $\mu$ sebenarnya.

D. Uji Hipotesis untuk $\mu$

1. Langkah-Langkah Uji Hipotesis

• (1) Rumuskan $H_0$ dan $H_1$.
• (2) Pilih statistik penguji.
• (3) Tentukan daerah penolakan dari tingkat signifikansi $\alpha$.
• (4) Hitung statistik penguji dari data sampel dan periksa apakah jatuh di daerah penolakan.
• (5) Hitung peluang signifikansi (nilai-$P$) untuk memperkuat kesimpulan.

2. Uji Z untuk Sampel Besar Statistik penguji untuk menguji hipotesis tentang $\mu$:

$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

• Satu sisi kanan ($H_1: \mu > \mu_0$): tolak $H_0$ jika $Z > Z_\alpha$.

• Satu sisi kiri ($H_1: \mu < \mu_0$): tolak $H_0$ jika $Z < -Z_\alpha$.

• Dua sisi ($H_1: \mu \neq \mu_0$): tolak $H_0$ jika $|Z| > Z_{\alpha/2}$.

• Nilai-$P$: peluang memperoleh hasil yang sama atau lebih ekstrem dari yang diamati. Semakin kecil nilai-$P$, semakin kuat bukti menolak $H_0$.

---

Kegiatan Belajar 2: Inferensi Proporsi Populasi dengan Sampel Besar

A. Inferensi tentang Proporsi Populasi ($p$)

1. Proporsi Sampel sebagai Penaksir Jika $X$ elemen dari sampel random berukuran $n$ memiliki suatu sifat, proporsi sampel:

$\hat{p} = \frac{X}{n}$

Sifat-sifat distribusi sampling $\hat{p}$:

• $E(\hat{p}) = p$ — tidak bias.
• $\text{ds}(\hat{p}) = \sqrt{pq/n}$ dengan $q = 1-p$.
• Untuk $n$ besar, $\hat{p}$ mendekati distribusi normal $N(p, pq/n)$.

2. Taksiran Titik dan Sesatan Standar

• Taksiran titik untuk $p$: $\hat{p}$
• Sesatan standar: $\text{SS}(p) = \sqrt{pq/n}$
• Taksiran SS: $\sqrt{\hat{p}\hat{q}/n}$
• Batas besar kesalahan 95,4%: $2\sqrt{\hat{p}\hat{q}/n}$

3. Interval Kepercayaan untuk $p$ Interval kepercayaan sampel besar $100(1-\alpha)\%$ untuk $p$:

$\left(\hat{p} - Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}},\ \hat{p} + Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$

4. Uji Hipotesis untuk $p$ Untuk menguji $H_0: p = p_0$ terhadap alternatif dua sisi atau satu sisi, statistik penguji:

$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0 q_0 / n}}$

• Daerah penolakan ditentukan oleh $H_1$ — satu sisi (kanan/kiri) atau dua sisi.

B. Menentukan Ukuran Sampel

1. Ukuran Sampel untuk Menaksir $\mu$ Supaya $100(1-\alpha)\%$ yakin kesalahan penaksiran $|\bar{X} - \mu|$ tidak melebihi $d$:

$n = \left(\frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{d}\right)^2$

Jika $\sigma$ tidak diketahui, lakukan pengambilan sampel awal berskala kecil untuk memperoleh taksiran $\sigma$.

2. Ukuran Sampel untuk Menaksir $p$ Supaya $100(1-\alpha)\%$ yakin kesalahan penaksiran $|\hat{p} - p|$ tidak melebihi $d$:

$n = \frac{p^* q^* \cdot Z_{\alpha/2}^2}{d^2}$

di mana $p^*$ adalah taksiran awal $p$.

• Jika tidak ada informasi tentang $p$, gunakan $p^*q^*$ maksimum $= 1/4$:

$n = \frac{Z_{\alpha/2}^2}{4d^2}$

Rumus ini memberikan ukuran sampel yang konservatif (cukup memadai dalam semua kasus).

• Bentuk umum interval kepercayaan: $\text{Taksiran} \pm (\text{nilai } Z)(\text{taksiran sesatan standar})$ — berlaku baik untuk mean maupun proporsi.