Inferensi Sampel Kecil dari Populasi Normal

Kegiatan Belajar 1: Inferensi Mean suatu Populasi dengan Sampel Kecil

A. Penaksiran Mean Populasi

1. Distribusi Student's t

Ketika ukuran sampel kecil ($n < 30$), teorema limit pusat tidak berlaku sehingga bentuk distribusi populasi sangat menentukan prosedur inferensi. Jika $\sigma$ tidak diketahui, penggantian dengan deviasi standar sampel $s$ menghasilkan variabel yang bukan lagi normal standar:

$t = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$

• Distribusi Student's t: distribusi yang simetrik terhadap 0 tetapi memiliki ekor lebih panjang dibanding $N(0;1)$, pertama kali dipelajari oleh W.S. Gosset (1908) dengan nama samaran "Student"
• Derajat bebas (db): $n - 1$, karena setiap ukuran sampel berbeda menghasilkan distribusi $t$ yang berbeda
• Sifat: ketika derajat bebas bertambah besar, distribusi $t$ mendekati distribusi $N(0;1)$
• Titik persentase $t_{\alpha}$: titik yang membatasi luasan $\alpha$ di atas distribusi $t$, dibaca dari tabel distribusi $t$ berdasarkan db dan $\alpha$

Contoh: untuk db = 5, titik 0,10 atas adalah $t_{0,10} = 1,476$ dan titik 0,10 bawah adalah $-1,476$.

---

2. Interval Kepercayaan untuk $\mu$ (Sampel Kecil)

Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk mean populasi normal diberikan oleh:

$\bar{X} - t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

• $t_{\alpha/2}$: titik $\alpha/2$ atas distribusi $t$ dengan derajat bebas $(n - 1)$
• Arti interval: jika pengambilan sampel diulang-ulang, sekitar $100(1 - \alpha)\%$ dari interval akan memuat $\mu$ yang sebenarnya
• Panjang interval: $2 \cdot t_{\alpha/2} \cdot s/\sqrt{n}$, berubah-ubah dari sampel ke sampel karena bergantung pada $s$
• Catatan penting: validitas interval sangat bergantung pada asumsi bahwa populasi berdistribusi normal

Contoh: untuk $n = 15$, $\bar{X} = 39{,}3$, $s = 2{,}6$, interval kepercayaan 90% adalah $39{,}3 \pm 1{,}761 \cdot \frac{2{,}6}{\sqrt{15}} = (38{,}12;\; 40{,}48)$ dengan $t_{0,05} = 1{,}761$ pada db = 14.

---

B. Uji Hipotesis untuk $\mu$

1. Uji-t (Uji Student's t)

Untuk menguji hipotesis tentang mean populasi normal dengan sampel kecil, statistik penguji adalah:

$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \quad \text{dengan db} = n - 1$

• Hipotesis alternatif satu-sisi kanan $H_1: \mu > \mu_0$: tolak $H_0$ jika $t > t_\alpha$
• Hipotesis alternatif satu-sisi kiri $H_1: \mu < \mu_0$: tolak $H_0$ jika $t < -t_\alpha$
• Hipotesis alternatif dua-sisi $H_1: \mu \neq \mu_0$: tolak $H_0$ jika $|t| > t_{\alpha/2}$
• Nilai-P: karena tabel distribusi $t$ hanya memberikan titik persentase tertentu, nilai-P dapat diperkirakan secara kasar atau dihitung eksak dengan program komputer

Contoh: data 10 pengukuran bakteria menghasilkan $\bar{X} = 194{,}8$ dan $s = 13{,}14$. Uji $H_0: \mu \geq 200$ vs $H_1: \mu < 200$ dengan $\alpha = 0{,}01$: $t = \frac{194{,}8 - 200}{13{,}14/\sqrt{10}} = -1{,}25$. Karena $-1{,}25 > -2{,}821$, $H_0$ tidak ditolak.

---

Kegiatan Belajar 2: Inferensi yang Lain

A. Hubungan antara Uji Hipotesis dan Interval Kepercayaan

1. Keterpaduan Dua Konsep

Daerah penerimaan uji dua-sisi pada tingkat signifikansi $\alpha$ untuk $H_0: \mu = \mu_0$ adalah:

$\bar{X} - t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu_0 < \bar{X} + t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

• Hubungan kunci: $H_0: \mu = \mu_0$ akan diterima (tidak ditolak) pada tingkat $\alpha$ jika dan hanya jika $\mu_0$ terletak di dalam interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$
• Implikasi: interval kepercayaan sebenarnya menguji banyak hipotesis nol sekaligus, sehingga merupakan prosedur inferensi yang lebih komprehensif
• Contoh: interval kepercayaan 95% untuk $\mu$ adalah $(7{,}4;\; 9{,}2)$, maka $H_0: \mu = 8{,}5$ tidak ditolak pada $\alpha = 0{,}05$ karena $8{,}5$ terletak di dalam interval

---

B. Inferensi Deviasi Standar

1. Distribusi Chi-Kuadrat ($\chi^2$)

Untuk melakukan inferensi tentang $\sigma^2$, digunakan variansi sampel $s^2$ dan distribusi sampling-nya:

$\chi^2 = \frac{(n - 1)s^2}{\sigma^2} \quad \text{dengan db} = n - 1$

• Distribusi $\chi^2$: tidak simetrik, mempunyai ekor panjang ke kanan, bentuknya bergantung pada derajat bebas
• Titik $\alpha$ atas $\chi^2_\alpha$: nilai yang membatasi luasan $\alpha$ di sebelah kanan
• Titik $\alpha$ bawah: dibaca dari kolom $1 - \alpha$ pada tabel distribusi $\chi^2$

---

2. Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis untuk $\sigma$

Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk $\sigma^2$:

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$

Interval untuk $\sigma$ diperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari batas-batas interval tersebut.

• Penaksir titik: $s$ adalah penaksir titik terbaik untuk $\sigma$, tetapi titik tengah interval kepercayaan untuk $\sigma$ bukan $s$
• Uji hipotesis: statistik penguji $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$ dengan db = $n - 1$
• Peringatan: prosedur inferensi untuk $\sigma$ sangat sensitif terhadap penyimpangan dari normalitas — tidak teguh (tidak robust)

---

C. Keteguhan (Robustness) Prosedur Inferensi

1. Pertimbangan Praktis untuk Sampel Kecil

• Cek normalitas: gunakan diagram titik atau grafik skor normal untuk mendeteksi observasi liar atau penyimpangan dari normal
• Prosedur untuk $\mu$ (menggunakan $t$): cukup teguh (robust) — penyimpangan kecil dari normal tidak berakibat serius, terutama jika $n \geq 15$
• Prosedur untuk $\sigma$ (menggunakan $\chi^2$): tidak teguh — penyimpangan dari normalitas dapat berakibat serius meskipun sampel besar
• Independensi observasi: asumsi paling kritis. Jika observasi dependen (misalnya pengukuran berulang pada subjek yang sama), semua prosedur inferensi dapat menjadi sangat salah
• Transformasi data: jika distribusi populasi tidak normal, transformasi data mungkin membawa distribusi mendekati normal