Membandingkan Dua Perlakuan

Kegiatan Belajar 1: Inferensi dengan Dua Sampel Independen

A. Inferensi Mean

1. Konsep Rancangan Percobaan

Dalam studi komparatif, terdapat dua rancangan dasar untuk membandingkan dua perlakuan:

• Sampel independen: subjek dibagi menjadi dua kelompok secara random, satu kelompok menerima perlakuan 1 dan kelompok lain perlakuan 2. Respons kedua kelompok tidak berkaitan
• Sampel berpasangan: subjek dipilih dalam pasangan yang serupa, lalu satu anggota tiap pasangan secara random menerima perlakuan 1 dan yang lain perlakuan 2
• Istilah: perlakuan (hal yang dibandingkan), unit/subjek percobaan (yang dikenai perlakuan), respons (karakteristik yang dicatat)

---

2. Inferensi Selisih Dua Mean — Sampel Besar ($n_1, n_2 > 30$)

Parameter yang diminati: $\mu_1 - \mu_2$ (selisih mean dua populasi). Jika kedua sampel besar:

$Z = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \quad \text{mendekati } N(0;1)$

• Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk $(\mu_1 - \mu_2)$:

$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$

• Uji hipotesis $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta_0$: tolak $H_0$ jika $|Z| > Z_{\alpha/2}$ (dua sisi), $Z > Z_\alpha$ (sisi kanan), atau $Z < -Z_\alpha$ (sisi kiri)
• Tidak diperlukan asumsi bentuk distribusi populasi

Contoh: membandingkan umur menikah pertama dua kelompok etnik ($n_1 = n_2 = 100$, $\bar{X} = 20{,}7$, $\bar{Y} = 18{,}5$, $s_1 = 6{,}3$, $s_2 = 5{,}8$): interval 95% untuk $\mu_1 - \mu_2$ adalah $(0{,}52;\; 3{,}88)$.

---

3. Inferensi Selisih Dua Mean — Sampel Kecil

Untuk sampel kecil diperlukan anggapan tambahan:

• Kedua populasi normal dengan $N(\mu_1; \sigma^2)$ dan $N(\mu_2; \sigma^2)$
• Variansi populasi sama ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$)

Variansi bersama ditaksir dengan penaksir gabungan (pooled estimator):

$s^2_{\text{gabungan}} = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

Statistik penguji:

$t = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - \delta_0}{s_{\text{gabungan}}\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \quad \text{dengan db} = n_1 + n_2 - 2$

• Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk $(\mu_1 - \mu_2)$:

$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{\alpha/2} \cdot s_{\text{gabungan}} \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$

Contoh: perbandingan hasil susu sapi ($n_1 = 13$, $n_2 = 12$): $s^2_{\text{gabungan}} = 69{,}9$, interval 95% = $(-4{,}02;\; 9{,}82)$.

---

B. Inferensi Variansi

1. Distribusi F

Untuk membandingkan variansi dua populasi normal independen:

$F = \frac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \quad \text{dengan db} = (n_1 - 1;\; n_2 - 1)$

• Distribusi F: ekor panjang ke kanan, bentuk ditentukan oleh pasangan derajat bebas $(v_1; v_2)$
• Sifat: jika $F$ berdistribusi $F(v_1; v_2)$ maka $F^* = 1/F$ berdistribusi $F(v_2; v_1)$
• Titik $\alpha$ bawah distribusi $F(v_1; v_2)$ = $1 / [\text{titik } \alpha \text{ atas } F(v_2; v_1)]$

---

2. Uji Hipotesis dan Interval Kepercayaan untuk $\sigma_1^2 / \sigma_2^2$

Di bawah $H_0: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 = 1$ (variansi sama), statistik penguji: $F = s_1^2 / s_2^2$

• $H_1: \sigma_1^2/\sigma_2^2 > 1$: tolak $H_0$ jika $F > F_\alpha(n_1 - 1;\; n_2 - 1)$
• $H_1: \sigma_1^2/\sigma_2^2 \neq 1$: tolak $H_0$ jika $F > F_{\alpha/2}$ atau $F < 1/F_{\alpha/2}$
• Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk $\sigma_1^2 / \sigma_2^2$:

$\frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1 - 1;\; n_2 - 1)} < \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot F_{\alpha/2}(n_2 - 1;\; n_1 - 1)$

• Peringatan: prosedur ini sangat bergantung pada asumsi normalitas populasi

---

Kegiatan Belajar 2: Inferensi yang Lain

A. Inferensi Proporsi Dua Populasi

1. Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis untuk $p_1 - p_2$

Proporsi populasi 1 dan 2 yang mempunyai karakteristik tertentu masing-masing $p_1$ dan $p_2$. Proporsi sampel: $\hat{p}_1 = X/n_1$ dan $\hat{p}_2 = Y/n_2$.

Untuk $n_1$ dan $n_2$ besar, statistik $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)$ mendekati normal dengan:

$Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}} \quad \text{mendekati } N(0;1)$

• Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk $(p_1 - p_2)$:

$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$

• Uji $H_0: p_1 = p_2$: gunakan proporsi gabungan $\hat{p} = \frac{X + Y}{n_1 + n_2}$ sebagai taksiran bersama $p$

$Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

• Keabsahan sangat bergantung pada randomisasi siswa/objek ke dalam dua kelompok

---

B. Inferensi dengan Dua Sampel Berpasangan

1. Rancangan Berpasangan (Paired Design)

Subjek dipilih dalam pasangan yang serupa, kemudian perlakuan dibagikan secara random dalam tiap pasangan. Selisih $d_i = X_i - Y_i$ dihitung untuk tiap pasangan, lalu dianalisis sebagai satu sampel.

• Keuntungan: menghilangkan sumber variasi antar-blok sehingga memperjelas efek perlakuan
• Kerugian: kehilangan derajat bebas (db = $n - 1$ dibanding $2n - 2$ untuk sampel independen)
• Kompensasi: jika pemasangan efektif, pengurangan variansi selisih biasanya lebih besar dari kerugian derajat bebas

---

2. Prosedur Inferensi untuk Mean Selisih $\delta$

Anggap $d_1, d_2, \ldots, d_n$ adalah sampel random dari $N(\delta; \sigma_d^2)$. Hitung $\bar{d} = \frac{1}{n}\sum d_i$ dan $s_d^2 = \frac{\sum(d_i - \bar{d})^2}{n - 1}$.

• Interval kepercayaan $100(1 - \alpha)\%$ untuk $\delta$:

$\bar{d} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s_d}{\sqrt{n}} \quad \text{dengan db} = n - 1$

• Uji hipotesis $H_0: \delta = \delta_0$:

$t = \frac{\bar{d} - \delta_0}{s_d / \sqrt{n}} \quad \text{dengan db} = n - 1$

• Untuk $n$ besar: anggapan normal tidak diperlukan, gunakan $Z = \frac{\bar{d} - \delta_0}{s_d/\sqrt{n}}$ yang mendekati $N(0;1)$

Contoh: studi pengaruh pil terhadap tekanan darah ($n = 15$): $\bar{d} = 8{,}80$, $s_d = 10{,}98$. Interval 95% untuk $\delta$ = $(2{,}72;\; 14{,}88)$. Uji $H_0: \delta = 0$ menghasilkan $t = 2{,}84 > 1{,}761$, maka $H_0$ ditolak — pil terbukti menurunkan tekanan darah.

• Randomisasi perlakuan dalam tiap pasangan tetap diperlukan untuk menghindari bias sistematik